ДОКАЗАНА ЛИ ПОЛНОСТЬЮ ТЕОРЕМА ФЕРМА ЭНДРЮ УАЙЛСОМ?

Климов Геннадий Дмитриевич

Дата публикации: 04.06.2014

Опубликовано пользователем: Носова Елена

Рубрика ГРНТИ: 27.00.00 Математика

УДК: 510

Ключевые слова: ,

Библиографическая ссылка:
Климов Г.Д. Доказана ли полностью теорема Ферма Эндрю Уайлсом? // Портал научно-практических публикаций [Электронный ресурс]. URL: http://portalnp.ru/2014/06/1971 (дата обращения: 24.10.2017)

Климов Геннадий Дмитриевич
Воронежский государственный аграрный университет
Инженер

Аннотация
В предисловии сказано, что я не математик, я – инженер (хотя математика и физика всегда были моими любимыми предметами), о теореме Ферма слышал (и знал ее), но никогда и не думал ею заниматься, зная о том, что на протяжении веков ее безуспешно пыталось доказать огромное количество «ферматистов» от простых «любителей» до профессиональных и даже гениальных математиков.
Я совершенно случайно оказался в этих рядах. Началось все с того, что мне попалась (случайно) газета с сенсационным сообщением


PROVEN WHETHER FULLY THEOREM THE FARM ANDREW WILES?
Klimov Gennadiy Dmitrievich
Voronezh State Agricultural University

Abstract
In the Preface says that I’m not a mathematician, I engineer (although mathematics and physics were always my favorite subjects), about Fermat’s theorem heard and knew her), but never thought to do it, knowing that for centuries it had tried unsuccessfully to prove a huge number of dermatitov” from simple Amateurs to professional and even brilliant mathematicians.
I coincidentally also in these lines. It all started with the fact that I came across by chance newspaper with a sensational message


Оглавление

  1. 1.     Предисловие. Бином Ньютона
  2. 2.     О методе бесконечного спуска
  3. 3.     Доказательство теоремы Ферма для n=4
  4. 4.     Ответ на заглавный вопрос – нет, не доказана

Дополнения

Заключение

Использованные публикации

 

1.     Предисловие. Бином Ньютона.
Я подготовил работу, которой дал название «Теорема Ферма и бином Ньютона». Статья с указанным здесь названием–вопросом является перередактированной частью указанной работы (она не публиковалась). Причина того и другого будет объяснена позже.

В отношении основной работы ограничиваюсь приведением ее оглавления с некоторыми экскурсами и ссылками на протяжении статьи.

 

ТЕОРЕМА Ферма и БИНОМ Ньютона

Оглавление

  1. 1.     Предисловие. О некоторых известных доказательствах теоремы
  2. 2.     Бином Ньютона в теореме Ферма an+bn=cn

Частные доказательства теоремы

2.1.          n=2

2.2.         Четное cn , четное n

2.3.         Четное cn , нечетное n

2.4.         Нечетное cn , нечетное n

2.5.         Нечетное cn , четное n

  1. 3.     Некоторые дополнения

3.1.         О методе бесконечного спуска

3.2.         Доказательство теоремы Ферма для n=4

3.3.         Доказательство теоремы о невозможности  равенства площадей пифагорова треугольника и квадрата

3.4.         Повышение меры доказанности теоремы Ферма

3.5.         О возможностях полного «элементарного» доказательства теоремы Ферма

  1. 4.     Заключение

Использованные публикации (5 названий)

В предисловии сказано, что я не математик, я – инженер (хотя математика и физика всегда были моими любимыми предметами), о теореме Ферма слышал (и знал ее), но никогда и не думал ею заниматься, зная о том, что на протяжении веков ее безуспешно пыталось доказать огромное количество «ферматистов» от простых «любителей» до профессиональных и даже гениальных математиков.

Я совершенно случайно оказался в этих рядах. Началось все с того, что мне попалась (случайно) газета с сенсационным сообщением (см. [1]).

В ней на первой странице «аршинными» буквами два слова: «ЗАКРЫЛ ТЕМУ» и, менее крупно, продолжение – «мировая сенсация: теорему Ферма доказал омич Ильин». Далее на с.с. 13, 16 помещена статья Г. Бородянского «Человечество может расслабиться?», где сообщаются некоторые исторические сведения о теореме Ферма и в «подвале» статьи приводится само доказательство А.И. Ильина. Сообщается также, что доказательство было доложено на ученом семинаре и получило одобрение.

Доказательство замечательно своей краткостью, но вызвало некоторые вопросы. Итак, по порядку.

Наиболее распространенная запись уравнения к теореме Ферма (ее называют «Последней» или даже «Великой») имеет вид

an+bn=cn .                                            (1.1)

В статье она записана как

Xn+Yn=Zn                                             (1.2)

Теорема утверждает, что уравнения (1.1), (1.2) не могут иметь все целочисленные основания при n>2 (неужели до Ферма никто не задавался вопросом о n>2?).

Ильин (для краткости, извиняясь, здесь и в дальнейшем не всегда указываются инициалы) предложил считать основания (1.2) X, Y, Z сторонами некоторого косоугольного треугольника A, B, C. Заглавные буквы, как обычно принимается, обозначают точки – вершины углов треугольника и совместно сами эти углы. Как можно понять из статьи [1], сторона X лежит против угла A, Y – против C, Z – против B.

При известных X, Y (в целых числах) неизвестная Z выражается по теореме косинусов формулой

Z=X2+Y2-2XYcosB .                                (1.3)

Это главное в доказательстве Ильина. Формула, конечно, справедлива для любого Z, полученного из (1.2) для любого n. Под корнем (1.3) при всех целых нецелым является только единственный cos B. Отсюда вывод: под корнем всгда нецелое число, а сам корень тем более. Гениально просто!

Главной трудностью (хотя и второстепенной, но без нее нет и полного доказательства) представлялось значение угла B: не может ли он оказаться равным 600 (cos 600=0,5), тогда под корнем – целое число. Дается и этому отрицательное доказательство, но здесь много «непоняток».

Треугольник ABC представляется прямоугольным (угол B=900) с катетами XY и гипотенузой R (на месте «будущего» Z). Для прямоугольника выполняется X=RsinA , Y=RcosA , R=X2+Y2  (*). Далее по (1.2) Zn=Xn+Yn=RnsinA+cosA  (**) (именно так в статье: «sin» и «cos» без степени «n»!). Можно предположить опечатку, но нет – дальнейшие действия показывают, что это «сознательная» запись.

Из (**) выводится Z=R(sinA+cosA). Опять «опечатка» – «скобка» не под n . Также удивительно дальнейшее. Так как Z при n>2 меньше Z=R при n=2 (это так), то дается вывод sinA+cosA<1(«сомневающихся» отсылают к справочнику). Это уже не опечатка – так и принято.

На самом деле сумма этих функций для всех углов от 00 до 900 больше «1» (с «единицами» по концам). Из «сумма меньше 1» дается совершенно необоснованный вывод: 600<A<900. Но для (1.3) нужен угол B. Ответ готов – его пределы такие же, как и для угла A (объясняется «гармонией» чисел 90, 60, 90).

Но даже, если принять эти выводы (ну, хотя бы условно – для анализа), то они все равно бесполезны, так как относятся только к прямоугольнику со сторонами XYR, а в треугольнике с Z<R эти углы иные: угол B меньше, A и C – больше (соотношения (*) по углу A недействительны, а действительные значения угла A «проходят» через 600 – от <600 до >600).

Доказательство по углу B (без «прямоугольника») можно получить иначе. Величина Z в (1.2) с ростом n уменьшается, достигая в пределе n=∞  значения Zmin≈maxX,Y  (легко доказывается), а сам треугольник Ильина становится приближенно равнобедренным с боковыми сторонами AC» BC=max(X,Y) и основанием AB=min(X,Y).

В таком «предельном» треугольнике углы при основании BminAmax=maxA, B, C>600 , а угол при вершине C=min(A,B,C)<600.

Можно еще проще. Из свойств любого треугольника «больший угол лежит против большей стороны» выводится: так как в (1.2) max(X,Y,Z)=Z, то по углам max(A,B,C)=B>180/3=600.

В обоих доказательствах один итог: 600<B<900. Возможное препятствие с углом B в (1.3) все же устраняется.

И что же? Теорема Ферма «раскрыта с легким изяществом», как сказано в [1]?

Я, признаюсь, тоже в это поверил, поначалу. Хотя и допущены «неувязки» с углом В, но в главном-то «все так». Я некоторое время удивлялся – как это за несколько веков не пришло никому в голову такое простое решение. Хотел даже послать в «Новую» свою «поправку» на угол в 600, но остановился.

Меня вдруг «осенило» – что же это получается? Формула (1.3) справедлива для любой стороны любого косоугольного треугольника общего вида, но тогда, по доказательству Ильина, выходит, что при двух взятых целыми сторон треугольника третья всегда будет нецелой, т.е. полностью целочисленные треугольники невозможны. Абсурд! Таких треугольников бесчисленное множество.

А как же косинус? Действительно, в справочных таблицах все тригонометрические функции – бесконечные десятичные дроби (кроме «круглых» углов, по косинусам это 00, 600, 900). Это, очевидно, и «подкупило». В чем же дело? Разберемся.

По первоисходному определению понятий тригонометрических функций это есть отношение сторон прямоугольного треугольника, которые могут быть как нецелыми, так и целыми числами: косинус угла между катетом и гипотенузой равен отношению катета к гипотенузе.

Представим cos B в (1.3) как cos B=U/V, где V – гипотенуза, а U – катет некоторого абстрактного прямоугольного треугольника. Если V придавать значения целых XY, 2X, 2YXY, 2XY, а для Uподбирать целочисленные значения в пределах 0<U<0,5V, то под корнем (1.3) будут получаться целые числа, а при V=2XY может выходить не только целое число, но и квадрат целого (проверено на числах, проявилась закономерность чередования значений U, дающих при V=2XY целочисленный квадрат целого числа под корнем).

Это «выбивает» главный тезис Ильина – под корнем не может быть целого числа. Может, и не только целого, но и квадрата целого. Доказательство ошибочно, оно пополнило бесчисленный ряд мартиролога неудачных доказательств теоремы Ферма. Очевидно, это поняли все, о нем уже ничего не было слышно.

 

Вот после «доказанности недоказанности» я и стал ферматистом, и не смог уже остановиться – «полезли мысли». В своей основной работе («с биномом») я отмечал, что кроме представления о самой теореме и сведений о ней из публикации [1] я больше ничем не располагал. В [1] упоминается доказательство Уайлса, но очень скептически и даже отрицательно. Я полагал тогда, что теорема Ферма еще не доказана (иначе и не стал бы ферматистом) и не придал значения этой отрицательной информации.

Появилось предположение: а не откроется что-нибудь из анализа – при каких свойствах чисел-оснований в (1.1) оно выходит в одних случаях целочисленным, а в других – нет, при n=2. Очевидно, эти свойства проявляются и при n>2, не найдется ли тут «ключа» для всей теоремы?

Я нашел все случаи целочисленности (1.1) при n=2 для всевозможных сочетаний целых  a и b (здесь, в отличие от предыдущего, используется символика более распространенного выражения (1.1)) в пределах от amin=1bmin=2 (принято a<b) до bmax≈100 .

Получилось: abc могут быть все четные, могут быть два нечетных и один четный; при наличии общих делителей после сокращения всегда остаются два нечета и один чет. Что все abc не могут быть нечетами ясно было и до расчета, но что показалось удивительным, так это то, что при двух нечетах и одном чете один нечет обязательно с, а вторым a или b – случая а – нечет, b – нечет с – чет нет ни одного! В этом я увидел «зацепку» – что-то от искомого «ключа».

Стал разбираться. Для уменьшения количества неизвестных наложим дополнительную связь на соотношение нечетных a и bb-a=x Þ b = a + x. Тогда из (1.1)

a2+b2=a2+a+x2=a2+a2+2ax+x2=2a2+2ax+x2=

=2a2+ax+x22=c2                                    (1.4)

Так как a – нечет, x – разность нечетов является четом, то в скобках (1.4) – нечетное число NH . Тогда

с=2NH                                              (1.5)

всегда будет нецелым числом при нечетных a и b, даже если NH  – целое число.

А как может быть при четном n>2? Возможны два способа. Любую четную степень в (1.1) можно всегда свести к сумме квадратов, что уже доказано.

Более общим является повторение предыдущего для каждого n. Возьмем n=4. По (1.1)

a4+b4=a4+a+x4=a4+a4+k1a3x+k2a2x2+k3ax3+x4 =

=2a4+k1a3x+k2a2x2+k3ax3+x4 =

=2a4+k12a3x+k2a2x22+k3ax32+x42=c4.

Так появился (вначале как подспорье – «экстраполяция» приема по n=2) бином Ньютона.  Коэффициент k1 в биноме всегда равен n, поэтому он делится на 2. Получается, в принципе, то же самое, что и по n=2: в скобках нечет, а формула (1.5) получает вид

c=424NH                                            (1.6)

с тем же итогом: c – нецелое число. Формулы (1.5), (1.6) можно экстраполировать на любую четную степень n (при ab – оба нечетные, конечно) с одним и тем же выводом.

Я счел себя автором доказательства теоремы Ферма для всех четных n при ab – нечеты в (1.1) (позднее я узнал, что это давно уже доказано, но все же не так как у меня – без «бинома»).

 

Естественным, конечно, было узнать – а как с биномом Ньютона при нечетных n? Берем по основаниям то же условие: a и b – нечеты, а n=3, например. При b=a+x по (1.1)

a3+b3=a3+a+x3=a3+a3+3a2x+3ax2+x3 =

=2a3+3a2x+3ax2+x3=2a3+3a2x2+3ax22+x32=c3       (1.7)

Здесь k1=3 не делится на 2 и появляется неопределенность. Если в x не менее двух «двоек», то результат аналогичен предыдущему: в скобках нечетное число и в c есть 32  – оно нецелое и теорема выполняется. Если же в x только одна «двойка», то «скобка» выходит тоже четной (складываются два нечета с двумя четами), и точный вывод о целочисленности c невозможен. Такая закономерность повторяется и для всех других n>3.

Был взят другой прием связи между нечетами a и bПринимаем a+b=y, откуда b=y-a=-(a-y) (с «минусом» оказалось удобнее для преобразований). Подстановка в (1.1) дает

a3+b3=a3-a-y3=a3-a3+3a2y-3ay2+y3=

=y3a2-3ay+y2=c3                                    (1.8)

Здесь при y – чет «скобка» – нечетное число (один нечет при сумме четов), и если в y содержится 2 в степени, не равной 3 и не кратной 3, то 3y  – нецелое число и с, следовательно, также (теорема выполняется). В противном случае – неопределенность: даже если 3y  – целое число, остается неопределенность с корнем из «скобки». Такие закономерности повторяются и для всех других нечетныхn>3.

Рассмотрим теперь случай иного размещения нечетов в (1.1): один «слева» (a или b, принято a), другой «справа» (c). Будут ли какие различия с рассмотренным выше.

Связь нечетов a+с=x приводит решение к виду, аналогичному с (1.7) (единственная «двойка» перед скобкой) с полным повторением тех же свойств и особенностей.

Положим связь c-a=z, из чего примем к расчету соотношение a=c-z, подстановка которого в преобразованное (1.1) для n=3 дает результат

b3=c3-a3=c3-c-z3=c3-c3+3c2z-3cz2+z3=

=3c2z-3cz2+z3=z3c2-3cz+z2 .                      (1.9)

Выражение (1.9) полностью совпадает с (1.8) (z вместо yc вместо ab вместо c) с полной аналогией по всем выводам о целочисленности z и y, «скобки» с zc и «скобки» с ya.

Важно отметить, что сведение (1.1) к виду y× («скобка») и z× («скобка») полностью совпадает с известным разложением двучленов xmam  на два сомножителя (по обозначениям в Справочнике по элементарной математике М.Я. Выгодского, М.: 1957).

Так для m=3 по справочнику (гл. III, § 11)

x3+a3=x+aa2-ax+x2 ,                           (1.10)

x+a (1.10) сходится с  y=a+b в (1.8), но расходится (вроде бы) по «скобкам». Но если подставить y=a+b в «скобку» (1.8), то получим

3a2-3ay+y2=3a2-3aa+b+a+b2=

=3a2-3a2-3ab+a2+2ab+b2=a2-ab+b2 .            (1.11)

Полное совпадение с (1.10). Для m=3 по

x3-a3=x-aa2+ax+x2                           (1.12)

x-a (1.12) сходится с z=c-a (1.9), а подстановка его в «скобку» (1.9) дает

3c2-3cz+z2=3c2-3cc-a+c-a2=

=3c2-3c2+3ca+c2-2ca+a2=a2+ca+c2 .

Полное совпадение с (1.12).

Разложения «по справочнику» и «по биному» полностью идентичны, но «бином» позволил упростить многие преобразования и выводы в первой работе (указана в начале этого текста). Некоторые из преимуществ видны уже из приведенных «выкладок»: для различных выражений y и z формулы (1.8) и (1.9) математически полностью совпадают, а «по справочнику» они разнятся.

Стоит сказать, что на разложение «по справочнику» я «наткнулся» уже после появления у меня «бинома», а с ним связана бо льшая часть первой работы. Возможно, не будь «бинома» – не было бы и самой работы – ни первой, ни второй.

 

Итак, установлено, что для всех нечетных n при нечетах ab и ac в уравнении (1.1) это уравнение можно свести к виду: чет (1.1) равен произведению двух сомножителей – четного (y=a+b и z=c-aсоответственно) и нечетного (многочлены с биноминальными коэффициентами). Это уравнения (1.8) и (1.9).

Неизвестным пока является соотношение двух сомножителей по признаку «взаимной простоты», но при любом соотношении четный сомножитель не будет степенью целого числа, если его «двойка» находится в степени не равной или не кратной n. Для таких случаев теорема доказана.

Напрашивается вопрос: а много ли таких случаев среди других возможных сочетаний нечетов в y и z? И можно ли оценить в числах соотношение между «доказанным» и «недоказанным» (процент того и другого)? Не решающе, но все же имеет интерес, и, кроме того, определяет следующий шаг – «борьбу» с «остатком», представляющим уже меньшее поле поиска.

Это оказалось возможным и причем в относительно точных числах. В основной работе задача всесторонне исследована, с составлением числовых таблиц и теоретических преобразований (раздел 2). Здесь ограничимся только изложением методики и результатов на примере – в (1.1) нечетами являются a и b.

Если построить возрастающий ряд значений y=a+b для всевозможных сочетаний a и b в пределах некоторого bmax (принято b>a), то выйдет так: 3+1=4; 5+1=6, 5+3=8; 7+1=8, 7+3=10, 7+5=12 и т.д. до ((bmax-2)+bmax). Количество aj при каждом bi равно (bi-1)/2, что и является числом сочетаний biaj при каждом bi. При переборе всех bi в пределах 3≤bibmax  выходит ряд числа сочетаний: 1(b=3), 2(b=5), 3(b=7) и т.д. до (bmax-1)/2, что представляет арифметическую прогрессию с известными первым и последним членами с разностью «единица». Это натуральный ряд чисел. Количество всех сочетаний при любом bmax легко определяется суммой такой прогрессии.

Удобнее определять количество y, содержащих 2 в степени, кратной n, а не противоположные им. Тогда отношение этого количества к количеству всевозможных сочетаний определит долю недоказанности теоремы (обозначим d), а доля доказанности (обозначим D) будет D=1-d.

Если, опять же, построить ряд значений y=a+b для отдельного одиночного достаточно «большого» bmax, то распределение y с 2m подчиняется строгой закономерности: с m=1 повторяется через «один на два», m=2 – через «три на четыре», m=3 – через «семь на восемь» и т.д. (т.е. через 21=2, 22=4, 23=8, …). Назовем эти числа 2m их шагом по нарастающему ряду y при заданном bmax(обозначим егоt= 2m).

Количество таких значений  2m, равномерно повторяющихся вдоль ряда y=a+b, соответствует делению (с точностью до единицы) длины ряда (количество всех сочетаний biaj от aj =1 до aj= bi-2) на шаг t= 2m (обозначим r)

ri=σit ,                                              (1.13)

где si – количество сочетаний biaj при bi=const.

Количество 2m во всех таких рядах от bmin=3 до bmax будет суммой значений (1.13)

ri=σ1t+σ2t+⋯+σmaxt=σit .                        (1.14)

Доля ri  в σi  (мера «недоказанности») из (1.14) выходит

δ=riσi=σiσi1t=1t=12n .                             (1.15)

Здесь в выражении t «общее» m заменено конкретным n из (1.1). Мера «доказанности»

DS=1-dS=1 - 1t=t-1t=2n-12n .                             (1.16)

Очень простое выражение, можно сделать «прикидки» на числах: для n=3 DS=(23-1)/23=7/8=0,875 (87,5%); для n=5 DS=(25-1)/25=31/32 (96,875%); для n=7 DS=(27-1)/27 (99,22%) и т.д. С ростом n DSповышается.

Но все же эти значения – dS и DS не вполне точны. Как указывалось ранее, степень при 2m (m) в сумме a+b=y может быть равной n и кратной ей, т.е. m=n, 2n, 3n, …, kn, где k – число натурального ряда. Но тогда их тоже надо включать в расчет S r и т.д. Каждому m=kn с очередным k должен соответствовать расчет (1.14), а затем (1.15) – будет ряд значений dS,k. Полная d является суммой таких dS,k

d=dS1+dS2 +dS+ =1t1+1t2+1t3+⋯=12n+122n+123n+⋯+12kn+⋯   (1.17)

Получается бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2n, сумма которой, как известно, имеет точное выражение. По справочнику

Sn=a11-q ,                                          (1.18)

где a1 – первый член прогрессии, q – ее знаменатель.

Подстановка q=a1 из (1.17) в (1.18) даст

Sn=12n1-12n=12n-1 , а  ∆=1-δ=1-12n-1=2n-22n-1 ,         (1.19)

Величины d и D имеют пределы

limn→∞δ=12-1=0 ,         limn→∞∆=1-limδ=1 100% .

Можно сказать, что теорема Ферма при n=∞  полностью доказана.

Из сравнения (1.19) с (1.16) видно, что «полная» D отличается от «неполной» уменьшением на «1» числителя и знаменателя, что тоже уменьшает ее, но роль «единицы» с увеличением n исчезающе мала. Для наглядности приводится таблица «полных» D , определенных по формуле (1.19) для некоторых первых нечетных n.

 

Таблица 1.1. Мера доказанности теоремы Ферма

n

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

D%

85,71428

96,77419

99,21260

99,80430

99,95115

99,98779

99,99695

99,99924

99,99981

99,99995

99,99999

~100

 

Значение D»100% при n=25 объясняется особенностью вычислительного устройства (использовался калькулятор МК-61), которое может давать точные значения только для чисел не более 8-ми разрядов: если результат с ноль целых и восемью девятками, то оно дает 1. Значения D таблицы 1.1, как уже отмечалось, несколько ниже, чем по (1.16), но разница быстро уменьшается: при n=3 это почти 2% (1,8), при n=5 уже 0,101%, а при n=7 всего лишь 0,006%.

Для случая нечетов c и a в (1.1) (c-a=z) по той же методике получаются те же формулы расчетов d и D и точно те же числовые значения D как в таблице 1.1.

Были рассмотрены и четные степени для нечетов ca (для нечетов a и b теорема доказана). Я знал, что если доказано для n – нечет, то для n – чет уже необязательно (они будут следствием). Но я, как уже отмечалось, считал в это время теорему Ферма недоказанной и такую разработку считал небесполезной, да и желательно было получить «полную картину» (приведено в подразделе 2.5 основной работы). Выведены формулы для d и D типа (1.19). Для n – чет они отличаются от (1.19) только числителями: в d (1.19) вместо «1» – однозначная функция от 2n (функция больше 1), а для D вместо «2» – эта функция плюс «1». Выходит увеличение d и уменьшение D. Влияет и число «двоек» в n – чет  – чем их больше, тем меньше D.

Для сравнения. Если для n – нечет результат D » 100% достигается при n=25, то для «лучших» D по n – чет с одной «двойкой» (6, 10, 14 …) такой же результат выходит уже при n=30. При «двоек больше 1» D » 100% получается при еще больших n – чет. Я не счел нужным приводить здесь эти расчеты.

Наконец, мы близко подошли к материалу, непосредственно связанному с вопросом, поставленным в названии статьи, а без получившимся довольно обширным предисловия (может показаться отдаленным от этого) было бы неясно – как все началось и как появилось последующее, начиная со следующего раздела.

 

2.     О методе бесконечного спуска
В первом разделе было представлено частичное доказательство теоремы Ферма, которое оказалось возможным выразить в виде процентной меры доказанности. Эта мера имеет точные значения, дифференцированные по отдельным показателям степени в (1.1), возрастая с увеличением степени: при n=3 она наименьшая (около 86%), но уже при n=7 она больше 99%, достигая в пределе (n=∞ ) точно 100%.

На протяжении более трехсот лет математики всех времен и народов, не в силах доказать теорему полностью, занимались также ее частичным доказательством: для n=3, 4, 5, 7 и т.д. По данным [1] к двадцатому веку этот ряд был доведен до n=619. Естественно предположить: а если «скрестить» методы частичного доказательства для всех abc (1.1), но не для всех n (300 лет) с методом частичного доказательства для всех n, но не для всех abc – не «родится» ли из этого полное доказательство.

Доказательств по отдельным n я ни одного не видел (да и не интересовался этим, пока не стал «ферматистом»), стал искать, хотя бы первые – для n=3, 4. В доступной литературе ничего не нашел, решил обратиться к интернету, в котором «все есть». С компьютером я знаком (программировал немного на Фортране), но интернетом не владею (и дело не только в «лени»). Обратился в «интернет-кафе» (перед теми, кто знает меня, пока не хотел «раскрываться»).

Я предполагал, что в интернете («все есть») можно найти названия типа: «доказательство теоремы Ферма для n – такого-то» или «… для n – таких-то». Ничего подобного мне не нашли, но, по моей просьбе, мне распечатали три статьи, привлекших внимание названиями и рисунками. Две из них оказались для меня очень важными ([2] и [3] в списке литературы), третья ничем мне не пригодилась (привлекла внимание геометрическими рисунками). В ней, между прочим, заявлено о доказательстве теоремы Ферма, основанного на сведении уравнения (1.1) к параллелограмму (автор В.Ушеко). Я счел себя обязанным рассмотреть это доказательство, раз оно «попало мне в руки». Мой анализ привел к выводу – оно неверно. Очевидно, я не ошибся – иначе о нем бы «говорили».

А из работ [2] и [3] я узнал, что имеется признанное «на высоком уровне» полное доказательство теоремы профессором Эндрю Уайлсом, а в [3] дается краткое изложение его. Доказательство из [2] очень сложное и длинное (более 100 страниц журнального текста). Сложность доказательства такова, что даже многие профессиональные математики с трудом в нем разбираются.

Вообще-то я был «эгоистически» огорчен – зачем нужно мое частичное доказательство, если уже есть полное, хотел даже все бросить. Но, во-первых, жаль было уже проделанной работы, и, во-вторых, – а не удастся ли, соединив два метода частичных доказательств, получить также полное доказательство. Оно не будет лишним и, как виделось, не будет таким сложным.

Я продолжил поиски частичных доказательств первого способа. В литературе центральной библиотеки я опять-таки ничего не нашел, но в компьютерном отделении библиотеки по просьбе – «нет ли там чего-нибудь еще» мне нашли название публикации [4] (это книга, по названию которой и автору я нашел ее потом в той же библиотеке).

Мне распечатали начальную часть книги (30 страниц, а сама книга только в читальном зале). Из нее я узнал, что многие мои «открытия» и «достижения» уже давно открыты и достигнуты, но моего частичного метода и бинома Ньютона там нет! И, главное в моем поиске – там я нашел доказательства для n=3, 4, 5, 7 (других я не искал).

Оказалось, что все эти доказательства получены с помощью «метода бесконечного спуска», предложенного, опять же, Пьером Ферма. Попытки применить этот метод к моим «остаткам» недоказанности (всего не более одного процента) ни к чему не привели – он как-то «не прикладывался».

Но сам «метод» все больше стал казаться каким-то странным и сомнительным. Приводится его описание (цитируется по главе «1.4. Метод бесконечного спуска» из [4]).

«Некоторые свойства или отношения невозможны для целых чисел, если исходя из предположения о том, что они выполняются для каких-либо чисел, удается доказать, что они выполняются для некоторых меньших чисел. Действительно, в таком случае то же самое рассуждение позволяет заключить, что они выполняются для еще меньших чисел и т.д. – ad infinitum («до бесконечности» – по латыни, прим. автора) – что невозможно, поскольку последовательность положительных целых чисел не может бесконечно убывать.»

Сознаюсь, не сразу смог понять – в чем «соль» метода и как положительные целые числа могут убывать ad infinitum. Проверить на числах «метод» нельзя – действительно невозможное в целых и будет убывать в нецелых, значит – только «на буквах». Но если мы допускаем некоторое соотношение в целых числах (пусть и «на буквах») и «опускаем» его с уменьшением и сохранением в целых, то оно, выходит, на каждом цикле повторяет и подтверждает свои свойства. Почему же оно «невозможно»? Подтверждает-то подтверждает, «соглашается» метод, но не ad infinitum же. Этот ad infinitum представляется какой-то «бездонной пустотой». Но это не так!

Признается, что соотношение («на буквах») остается целым? Да – признается. Признается, что после каждого цикла оно становится «меньше»? Да – признается. Но тогда, что же выходит? Если некоторый параметр соотношения Ni после очередного цикла принимает значение Ni+1<Ni , то (логически рассуждая) какое-то Ni+1  неизбежно «упрется в пол» – ноль, единицу или Ni+1<1 .

Тогда, во-первых, метод нужно считать «методом конечного спуска», а не бесконечного. И, во-вторых, соотношение может сохранять свои свойства и в целых отрицательных числах. Тогда действительно ad infinitum только в отрицательный ряд. Во времена Ферма отрицательные числа еще не были окончательно приняты, его современник Декарт называл такие числа «ложными». Может быть, это как-то «сказалось»? Но «невозможности» отсюда не выходит.

Если есть процесс уменьшения ad infinitum «в минус», то может быть, такое же и с увеличением «в плюс». В чем разница? Математически, «по процессу» – они равнозначны.

«Несуразности» метода спуска анализируются подробнее на ряде примеров: два первых «придуманы» автором, два последних взяты из книги [4].

 

Пример1

«Подъем» соотношения. Открывшиеся особенности.

Рассмотрим в связи с этим широко распространенное и хорошо изученное соотношение, представляющее уравнение (1.1) в целых числах при n=2. В книге [4] оно называется пифагоровой тройкой. Поскольку дальнейшее изложение связано с книгой [4] используется принятая там символика. Указанное соотношение имеет вид

x2+y2=z2 .                                            (2.1)

Некоторые свойства такого соотношения при целочисленности оснований уже указывались в предыдущем разделе. По этим свойствам всевозможные сочетания xyz делятся на две группы: xyz не имеют общих делителей и (более обширная) они имеют такие делители. Я назвал первую группу первичной, а вторую – вторичной. В [4] первую группу называют «примитивной», а вторую оставили без названия. Название «примитивный» идет еще от Диофанта (Древняя Греция) и, вообще-то, по смыслу, то же самое, что и «первичный», но второе кажется предпочтительнее, т.к. первое, в наше время, приобрело некоторый отрицательный оттенок. У первичного (2.1) может быть только два нечета и один чет. z обязательно нечет, второй нечет – x или  y (равноправно). Именно такое сочетаниеxyz названо «пифагоровой тройкой».

Как находить значения xyz для таких троек? Я нашел такой способ (изложено в подразделе 2.1 основной работы), но из [4] (намного позже) я узнал, что это давно уже известно – со времен Диофанта, а, возможно, и еще раньше на тысячу лет: на одной из клинописных табличек, найденных при раскопках Вавилона, высечен набор целых чисел по (2.1), среди которых есть и такой «большой» – 4961, 6480, 8161.

Способ получения троек довольно прост и вывод его также (у Диофанта, у меня он громоздкий и, значит, «уступает»). Значения xyz находятся по формулам

x=2pq ,              y=p2-q2 ,                 z=p2+q2 ,        (2.2)

где p и q должны обладать свойствами: противоположная четность, взаимно простые числа (нет общих делителей), p>q. Я назвал p и q параметрами пифагоровых троек (в [4] они безымянны).

В [4] приведена начальная часть бесконечной таблицы пифагоровых троек. Повторим ее здесь (требуется и для дальнейшего). В [4] она обозначена номером «1.1». Здесь для унификации таблиц статьи ей дается другой номер.

Таблица 2.1. Пифагоровы тройки

p

q

x

y

z

2

1

4

3

5

3

2

12

5

13

4

1

8

15

17

4

3

24

7

25

5

2

20

21

29

5

4

40

9

41

6

1

12

35

37

6

5

60

11

61

7

2

28

45

53

7

4

56

33

65

7

6

84

13

85

8

1

16

63

65

8

3

48

55

73

8

5

80

39

89

8

7

112

15

119

 

В дополнение к указанному ранее разделению троек (для краткости – «по месту» – иногда снимается «пифагорова») на первичные и вторичные я «открыл» еще одну классификацию для них. Собственно, «открытия» никакого нет – оно лежит «на поверхности», и никто не придавал ему значения. Оно его получило только при решении одной задачи и больше, наверно, нигде не нужно. О самой задаче позже, а «открытие» в следующем.

Ряд pq, по сути, является перебором всевозможных сочетаний всех чисел натурального ряда, обладающих указанными выше свойствами для p и q. При последовательном нарастании сочетаний pqобязательно будут встречаться случаи, когда пара pq совпадет со значениями какой-нибудь «нижней» тройки: с ее четом и одним из нечетов. Если pq совпали с четом и меньшим нечетом (p=max(x,y), q=min(x,yпо обозначениям таблицы 2.1), то согласно (2.1) и (2.2) больший нечет (z) этой тройки будет квадратом z «меньшей».

В бесконечном продолжении таблицы 2.1 обязательно будет совпадение pq с тем же четом и бо льшим нечетом той же «нижней» тройки (p=zq=x). Тогда согласно (2.1) и (2.2) квадратом будет «y» этой тройки по отношению к «нижней».

Ситуация будет повторяться для ряда последующих «верхних» троек, для которых «нижними» являются предыдущие. При этом процесс «ветвится»: от каждой тройки выходит две новых, от каждой из которых опять две новых и т.д. При этом, если исходить из «самой нижней тройки», степени ее z и y удваиваются на каждом шаге подъема (1, 2, 4, 8, 16 …).

«Самую нижнюю тройку» я назвал «начальной», а все выходящие от нее «производными». Каковы признаки (свойства) тех и других? Главное свойство начальной тройки – сумма и разность квадратов ее параметров не являются квадратами. Признак – следствие свойства: оба ее нечета не имеют четной степени. Признак производной тройки – четная степень одного из нечетов.

Примеры тех и других можно найти в таблице 2.1. Первая тройка таблицы 4, 3, 5 – начальная: оба нечета в первой степени. Параметры p=4, q=3 совпадают с x=4, y=3 первой тройки. Тройка 24, 7, 25=52 – производная от нее с квадратом ее же большего нечета. Параметры p=5, q=4 совпадают с z=5, x=4 первой тройки, а сама тройка 40, 9=32, 41 является производной от нее с квадратом ее же меньшего нечета.

Все остальные тройки таблицы 2.1 – начальные. И даже «очень большая тройка» – «вавилонская» (приведена выше: 4961, 6480, 8161) является начальной (оба нечета – первой степени). И из каждого такого «корня» – начальная тройка вырастает бесконечно ветвящийся «куст» производных троек. Бесконечную таблицу 2.1 можно представить как бесконечный «лес» из таких «кустов».

Для наглядности можно представить начальный фрагмент такого «куста». Полностью – в виде «ветвящейся структурной схемы» это сделать невозможно из-за ограниченности обычного писчего листа. Нужно как-то «уплотняться».

Подъем тройки с повышением степени большего нечета (z) назовем первым способом, а то же самое с меньшим нечетом – вторым.

Представим «процесс» в виде сводной таблицы строк – подтаблиц, где каждая подтаблица – подъем той или иной тройки (от начальной и «выше») по одному из способов. Ограничение – длина строки по листу, а также ограниченность МК-61 только 8-ми значными числами.

Демонстрация дается на примере «наименьшей» тройки 4, 3, 5 (у других еще меньше возможностей «по месту»).

 

Сводная таблица 2.2. Подъем пифагоровой тройки 4, 3, 5

  1. Подъем тройки 4, 3, 5 способом «1»

pq

2,1

4,3

24,7

527,336

x, y, z

4, 3, 5

24, 7, 25=52

336, 527 ,625 =252=54

354144,164833,390625=6252=58

1.1.         Подъем тройки 24,7, 25 из «1» способом «2»

pq

25,24

1201,1200

x, y, z

1200, 49=72, 1201

2882400, 2401=492=74, 288401

1.2.         Подъем тройки 336,527, 625 из «1» способом «2»

pq

625,336

x, y, z

420000,277729=5272, 503521

1.3.         Подъем тройки 1200,49,1201 из «1.1» способом «1»

pq

1200,49

x, y, z

117600,1437599,1442401=12012

  1. Подъем тройки 4, 3, 5 способом «2»

pq

2,1

5,4

41,40

3281,3280

x, y, z

4, 3, 5

40,9=32,41

3280,81=92=34,3281

21523360,6561=812=38,21523361

2.1.         Подъем тройки 40,9,41 из «2» способом «1»

pq

40,9

1519,720

x, y, z

720,1519,1681=412

2187360,1788961,2825761=16812=414

2.2.         Подъем тройки 3280,81,3281 из «2» способом «1»

pq

3280,81

x, y, z

531360,10751839,10764961=32812

2.3.         Подъем тройки 720,1519,1681 из «2.1» способом «2»

pq

1681,720

x, y, z

2420640,2307361=15192,3344161

 

Представленная таблица размножения троек подтверждает все свойства и признаки начальных и производных троек. Подъем тройки на каждом шаге сопровождается удвоением четной степени одного из нечетов ее, второй нечет при этом не имеет четной степени.

То, что «поднимается» может и «опускаться». Каждой «верхней» тройке обязательно соответствует «нижняя»: параметры «верхней» становятся двумя членами «нижней» (до начальной).

Какой бы ни была «заоблачной» производная тройка ее всегда можно – «с веточки на веточку вниз» – опустить до «корня» – начальной тройки. Следовательно, пифагоровы тройки (производные) могут опускаться!

Рассмотренная тройка, возведенная до как угодно большой «высоты», всегда может вернуться обратно, совершив спуск в полном соответствии с правилами «метода бесконечного спуска», который фактически (вариант) является конечным. Она проходит весь путь до последнего наименьшего значимого числа натурального ряда (q=1).

И каков тогда вывод? Уникальная тройка 4, 3, 5 невозможна в целых числах?

А остальные? – они ведь тоже могут «опускаться» (хотя и каждая до своего «дна» – но все же …).

 

Пример 2

Метод спуска применяют только для доказательства невозможности целочисленности соотношений, когда на бесчисленных числовых расчетах все время выходит такой результат. Очевидно – так и есть, но «очевидно» – не доказательство. Все же мы не знаем – так это или не так, но желательно, чтобы было «так» – «спуск» решает дело «в нашу пользу».

Самому методу «безразлично»: «возможно» или «невозможно» – главное, чтобы был «спуск». А если приложить метод к известно-целочисленному соотношению – что получится?

Возьмем простейшее математическое соотношение

a+b=c                                              (2.3)

со свойствами: все числа положительны, c > ac > b. Примем, для определенности, b > a. Чтобы было все «по форме» ставим условие: мы не знаем – может ли (2.3) быть целочисленным или нет (ну, «понарошку», допустим). Все, так же «по форме», делаем «на буквах», опять же «по форме» предполагаем, что оно целочисленно.

Будем вычитать из a и b одну и ту же малую целочисленную величину ∆≪a<b , тогда для сохранения равенства в (2.3) из c вычитаем 2∆ . Снабжаем все числа (2.3) цифровыми индексами, начиная с нуля. Процесс таков.

a0+b0=c0 ,    c0>b0>a0

a1=a0-∆ => a1<a0b1=b0-∆ => b1<b0c1=c0-2∆ => c1<c0

a1+b1=c1 => c1-b1=a1>0 => c1>b1>a1

a2=a1-∆ => a2<a1b2=b1-∆ => b2<b1c2=c1-2∆ => c2<c1

a2+b2=c2 => c2-b2=a2>0 => c2>b2>a2       и т.д.

Процесс полностью соответствует требованиям «классического» метода бесконечного спуска: предположительно целочисленное соотношение, сохраняя свои свойства, остается таковым с уменьшением значений своих составляющих на каждом шаге спуска. Получен ad infinitum.

После частичной демонстрации таких преобразований дается (вариант) вывод: «… мы указали бесконечную убывающую последовательность положительных целых чисел, существование которой невозможно.» (цитируется из [4]).

Итак, в полном соответствии с правилами метода бесконечного спуска «доказано», что соотношение (2.3) невозможно в целых числах. Т.е. получили абсурд и нелепость!

Можно еще отметить, что представленный спуск соотношения (2.3) обязательно перейдет в отрицательный ряд чисел с действительным выполнением ad infinitum, как, впрочем, то же самое может быть и в положительную сторону (подъем). Но в отрицательной части изменяется одно из свойств: там будет c<b<a , но это, собственно, для представленного не имеет значения.

Можно также предположить, что «пример 2» может показаться спорным и вызвать возражения, но это не лишает его права на внимание.

 

Пример 3

Этот пример, как было сказано вначале, взят из книги [4] – из так же указанной главы (1.4. Метод бесконечного спуска).

Весьма существенно, что этот пример, как и предыдущий (пример 2), основан на также известно-целочисленном соотношении. Что же из этого вышло?

Соотношение также очень просто

v∙w=u2 ,                                                (2.4)

где vw – взаимно простые числа.

Задача: доказать, что если один из сомножителей является квадратом, то второй – также квадрат. Вообще-то, это представляется аксиоматичным и не требующим особого доказательства. В самом деле. Каждое непростое число раскладывается на ряд сомножителей из простых чисел (в общем случае и степенных). Непростое число u из (2.4) также состоит из произведения сомножителей – простых чисел, а в u2  они все, конечно, в квадрате. Какая группа сомножителей относится к v, а какая к w уже непринципиально – в каждом конкретном случае это зависит от обстоятельств и условий расчета. Важен главный вывод: если v∙w  является квадратом, то v и w по отдельности тоже квадраты.

Примерно так же (по сомножителям) эта задача рассмотрена в предыдущей главе 1.3 [4]. Какое еще нужно доказательство? Наверно, только для того, чтобы показать и подтвердить возможности «метода» на таком простом и очевидном примере.

Конечно, для анализа доказательства нужно представить его. Дается изложение в трактовке автора.

В [4] «рабочая» постановка задачи такова: доказать, что невозможно найти такие числа vw, чтобы при выполнении (2.4) v или w не было квадратом.

Доказательство довольно «извилистое» и, кроме того, с опечатками, которые надо было «распознавать».

По принципу «метода» – допускается противоположность тому, что требуется доказать, принимается: да, можно найти такое v или w, которое не будет квадратом (принимается: w – квадрат, v - неквадрат). Предполагается такое простое число p, которое делит v ( v/p=k, тогда можно выразить v=p∙k ). Так как p должно входить и в правую часть (2.4), то должно выполняться u=pm и (2.4) получает вид pkw=(pm)2=p2m2. Сократив на p, получаем kw=pm2. Так как p «должно делить» и левую часть, а w оно не делит (p входит в v), то p «делит» k, что сводится к соотношению k=pv . Подставив его в предшествующее выражение и сократив на p, имеем vw=m2 , что повторяет исходное (2.4) с уменьшением v (на v<v ) и u2 (на m2<u2). Из выражения v=pk=p2v  делается вывод о том, что v  не может быть квадратом, т.к. тогда надо считать квадратом и v, что противоречит принятым вначале условиям. Таким образом, новая пара vw  имеет те же свойства, что и пара vw, чем и подтверждается полное соответствие правилам метода спуска (соотношение сохраняет свои свойства при уменьшении своих целочисленных составляющих). Повторив с «уменьшенным» соотношениемvw=m2  те же действия, можно получить очередное «уменьшенное» соотношение с v<v  и т.д. (v>v>v>v”’ ). Дается заключение, что по правилам метода спуска достигнута цель доказательства – нельзя найти такие vw, удовлетворяющие (2.4) в целых числах, чтобы одно из них было неквадратом, т.е. v – квадрат.

 

Анализ доказательства. Обращает на себя внимание какая-то «лишняя волокита» (чтоб «запутать» что ли?) с сомножителями p: зачем их сокращение разделено на два приема (поочередно – «раз» на p и «два» на p). Если p содержится «слева» (в v) и «справа» (в u2) формулы (2.4), а «справа» p может быть только в квадрате, то и «слева» оно также должно быть в квадрате. Тогда можно было сразу записать полученные через «волокиту» выражения v=p2v , u2=p2m2 и vw=m2 .

Итак, осуществляется спуск сомножителя v (2.4), который принят неквадратом (а, следовательно, и с его корнем – нецелым числом, хотя фактически он квадрат, т.е. «белое» названо «черным») и на каждом шаге спуска продолжает считаться таковым.

Что же происходит фактически в процессе спуска? Далее, для удобства, будем писать v0  (вместо v), v1  (вместо v ), v2  (вместо v ) и т.д.; сомножитель p соответственно p0p1p2, …, величину m какm0m1m2, … .

Как бы ни «маскировался» спуск фактического квадрата v в (2.4) под спуск неквадрата, «правда берет свое» – спускается фактически все же квадрат.

Исходя из всего вышеизложенного, соотношение (2.4) можно представить

v0w=u2=p02p12p22∙…∙pn2w=p02∙m02 .

После очевидного сокращения на w получим

v0=p02p12p22∙…∙pn2=M02=p02∙m02w .                        (2.5)

Количество сомножителей pi2  конечно (0≤i≤n ), что признается и в [4], а само выражение (2.5) – квадрат. Спуск

v1=v0p02=p12p22p32∙…∙pn2=M12=p12∙m12w

v2=v1p12=p22p32p42∙…∙pn2=M22=p22∙m22w

_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _

vn=vn-1pn-12=pn-12pn2pn-12=pn2=Mn2=pn2mn2w,   mn2=w .

Выполняется принцип уменьшения v0>v1>v2>…>vn-1>vn , а все vi  являются квадратами вопреки заявлению [4] о спуске неквадратов (да, кроме того, такой спуск, похоже, противоречит и правилам самого метода: там могут быть только целые числа, а целое неквадрат означает нецелый корень).

Но тогда, по правилам метода спуска, получен результат, прямо противоположный выводу в [4]: по «методу» – если соотношение спускается, то оно невозможно в целых числах. Следовательно, как в (2.4), так и в (2.5) v=v0  не может быть (по методу) не только квадратом целого, но и вообще целым числом.

Ряд pi состоит из различных чисел. Вот и получается «доказанным», что (среди прочего) «пятью пять не двадцать пять» и опровергнута одна из самых популярных абсолютных истин – дважды два четыре. Вывод однозначен – это нонсенс!

Да что квадрат? Можно в (2.5), взяв первое равенство (как пример) и сняв степени «2» у всех pi, получить произведение взаимно простых чисел первой степени. Повторив (в принципе) приведенный процесс спуска, придем к такому же результату.

Очевидно, можно найти и другие подобные примеры спуска целочисленных соотношений с таким же выводом.

 

 

 

Пример 4

Взят из книги [4] глава «1.5. Случай n=4». Это не что иное, как «историческое» доказательство теоремы Ферма для n=4. Наличие такого доказательства позволяет ограничиться рассмотрением только нечетных n для полного доказательства теоремы.

Рассмотрим приведенное в [4] доказательство для n=4. Доказывается, что уравнение

x4+y4=z4                                              (2.6)

невозможно при всех целочисленных основаниях степеней. Доказательство состоит в следующем (в трактовке автора).

Равенство (2.6) можно представить в виде

x22+y22=z22 ,                             (2.7)

что «внешне» соответствует пифагоровой тройке, состоящей из квадратов (xyz – взаимно простые положительные числа, z – нечет, xy – один чет, другой нечет). Предполагается x – чет, y – нечет. Тогда по формулам получения пифагоровых троек можно записать

1.  x2=2pq,    2.  y2=p2-q2,      3.  z2=p2+q2 ,            (2.8)

где pq – параметры тройки (взаимно простые числа противоположной четности, p>q ). Дальнейшие действия, в основном, увязаны с выражениями «1» и «2» в (2.8).

Из «2» выводится

p2=y2+q2 ,                                           (2.9)

откуда следует p – нечет, q – чет.

Так как выражение (2.9) тоже выходит пифагоровой тройкой, то ее составляющие по аналогии с (2.8) могут быть выражены через новые параметры – a и b (аналогично с p и q в (2.8)) с аналогичными свойствами

q=2ab ,    y=a2-b2 ,        p=a2+b2                   (2.10)

Теперь выражения p и q из (2.10) подставляются в «1» (2.8)

x2=2pq=4aba2+b2 .                       (2.11)

Учитывая, что a и b взаимно просты дается вывод о том, что ab и a2+b2  также должны быть квадратами, а, следовательно, a и b – также квадраты.

Принимается a=X2 , b=Y2 , следовательно, a2+b2=X4+Y4  - квадраты. Так как x4+y4  тоже можно считать квадратом (очевидно из z4=z22 , прим. автора), то новую пару X4+Y4  можно считать аналогом x4+y4 . Дается итоговая цепь соотношений

X4+Y4=a2+b2=p<p2+q2=z2<z4=x4+y4 ,

после чего приводится традиционное для метода спуска заключение (по тексту [4]): «Тем самым мы указали бесконечную убывающую последовательность положительных целых чисел, существование которой невозможно. Следовательно, сумма двух четвертых степеней не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвертой степени. Это доказывает Последнюю теорему Ферма для четвертых степеней.»

Далее в той же главе [4] приводится вывод о том, что доказанность теоремы для n=4 доказывает ее и для всех n, кратных четырем, из чего следует другой вывод: для полного доказательства теоремы достаточно доказать ее для всех n – простое число.

 

Анализ доказательства. Представленное в [4] доказательство по n=4 основано на методе бесконечного спуска, рассмотрение которого составляет бо льшую часть всего предшествующего текста по главе 2. Доказана (по мнению автора) его ошибочность и полная несостоятельность.

Уже по одной этой причине доказательство с n=4 также ошибочно и несостоятельно. Стоит рассмотреть детальнее.

В доказательстве опускаются пифагоровы тройки. В «Примере 1» уже рассматривался такой процесс. Получен вывод: сам спуск возможен (в принципе), но с двумя проблемами. Спуск имеет нижний предел разного уровня для разных троек (нет ad infinitum) – только одна тройка проходит цикл полностью (до единицы). Но второе, и самое главное: если что-то спускается в целых числах, то по правилам метода спуска это «что-то» само невозможно в целых числах.

Следовательно, «доказав» методом спуска теорему Ферма для n=4, мы одновременно «доказали» невозможность существования самих пифагоровых троек. Опять же – нонсенс!

Но есть «неувязка» и с самим спуском по n=4 (если даже условно принять его). В «Примере 1» было установлено деление троек (снимаем иногда «по месту» для краткости «пифагоровы») на начальные и производные. Свойство начальной тройки – она «не спускается» (сумма и разность квадратов ее параметров не равны квадратам). Признак – ее основания – нечеты не могут иметь четных степеней. Свойство производных троек – они могут опускаться. Признаки – один из нечетов тройки имеет четную степень (2, 4, 8, 16, …). Их тоже можно подразделить на тройки первого шага подъема (четная степень «2»), второго шага (степень «4») и т.д.

А теперь обратимся к доказательству. Исходное выражение (2.6), сведенное к виду (2.7), принимается пифагоровой тройкой. Нечетные основания y2  и z2  в (2.7) являются квадратами, следовательно тройку (2.7) можно считать производной тройкой первого шага. Ее «опустили» и получили тройки «2» и «3» (2.8). Но спуск производной тройки первого шага приводит к начальной тройке. Следовательно, тройки «2», «3» (2.8) – начальные, одна из которых («2» из (2.8)) преобразована к виду (2.9).

Этой тройке назначаются параметры ab, посредством которых и выражаются ее члены – формулы (2.10). Привлечение «1» из (2.8) дает главное соотношение (2.11), из которого делается вывод: все ее сомножители – квадраты.

Это – главное в доказательстве по n=4 в [4]. Все дальнейшее – следствие из этого, в том числе и превращение a2+b2  в подобие (2.6), что объявляется завершением первого шага спуска, позволившим получить «цепь уменьшения» и вывод «… мы указали …» и т.д.

Конкретные «неувязки» со спуском. «Малая» состоит в следующем. Объявленное квадратом a2+b2  приводится к виду X4+Y4=Z2  (*) («=Z2 » нет в [4], но ведь так же должно быть), но ведь такое выражение отличается от исходного (2.6) с троекратной четвертой степенью. По правилам метода спуска свойства соотношения должны сохраняться, а здесь они сильно нарушены (квадрат вместо четвертой степени). Уже и поэтому спуск недействителен. Но в [4] такой «минус» засчитан в «плюс» («Следовательно, сумма двух четвертых степеней не может быть даже квадратом, не говоря уже о четвертой степени.», «Следовательно» – как следствие спуска). Какой же это «плюс», если Z2  не сходится с z4 , в чем выходит нарушение предписанных правил метода спуска.

«Бо льшая неувязка» в следующем. Сумма a2+b2  действительно не может быть квадратом, но не как результат спуска, а изначально. Уже было показано, что a и b – параметры начальной тройки, а сумма квадратов таких параметров (как и разность) не может быть квадратом (свойство начальных троек), и выражение (*) фактически выходит X4+Y4=Z  (**) (первая степень). Если выражение (*) еще можно считать пифагоровой тройкой, то (**) таковой совершенно не является. Его можно представить в виде некоторой (непифагоровой) тройки, заменив Z на Z2 .

Такое выражение (**) и является фактическим аналогом (2.6) после первого шага спуска. На очереди второй (по ad infinitum),но он уже невозможен: в соотношениях вида (2.8) параметры P и Q (взаменp и q) будут уже нецелыми числами

P=12Z+Y2 ,        Q=12Z-Y2 .

Дальнейший спуск невозможен.

Итак, есть дилемма: если признавать доказательство в [4] по методу спуска, то нужно считать невозможными пифагоровы тройки; если это не признавать, то мы «упираемся» в невозможность самого спуска. По обоим вариантам итог один.

Существующее более сотни лет доказательство теоремы Ферма для n=4 всесторонне ошибочно и несостоятельно.

Можно, пожалуй, добавить. Представленные выводы были получены в результате длительной аналитической работы с применением многочисленных расчетов, которые можно выполнить только при наличии вычислительной техники. В былые времена такие расчеты были невозможны.

 

Но без доказательства по n=4 нет и полного доказательства теоремы Ферма, если даже будет доказательство для нечетных n. Конечно, «опровергатель старого» не мог не попытаться получить «новое». В результате многотрудных поисков такое доказательство (и даже не одно) было получено. Изложение – в следующем разделе.

 

3.                            Доказательство теоремы Ферма для n=4
Уравнение (2.6), сведенное к (2.7), представляет некоторую (предположительно) пифагорову тройку, состоящую из квадратов. Нужно доказать невозможность таких троек.

Элементы такого доказательства можно усмотреть в рассуждениях по «Примеру 1» в предыдущей главе. Установлено, что тройки могут быть или начальными или производными. Для n=4 подходят только производные. Было показано, что в производных тройках четную степень имеет только один нечет – основание, другой – в первой (или, в общем случае, может быть нечет >1).

Собственно, вот оно – доказательство: один из нечетов всегда в нечетной степени. Но «всегда» при наблюдении не означает ad infinitum – нужно точное доказательство.

Уравнение (2.7) (тройка из квадратов) имеет следствием три выражения (2.8). Для решения достаточно доказать невозможность в целых хотя бы одного из них. Из анализа всевозможных вариантов (какие смог найти автор) определилось два: «разборка» с выражением «1» в (2.8) (невозможность x2 ) и невозможность совместности квадратов у «2» и «3». Соответственно вышло два доказательства: одно «короткое» и второе «длинное».

 

Доказательство 1.

Доказывается, что соотношение «1» (2.8)

x2=2pq                                                   (3.1)

не может быть целочисленным квадратом. Здесь p и q – члены двух начальных пифагоровых троек «2» и «3» в (2.8) (p – нечет, q - чет). Как было установлено, нечеты начальных троек не могут иметь четных степеней. Поэтому в (3.1) 2q еще может быть квадратом, если q имеет «2» в нечетной степени и нечет в четной, но p не может быть квадратом (p и q – взаимно простые).

Вывод: произведение 2pq не может быть квадратом целого числа. Теорема Ферма для n=4 доказана.

На этом можно было бы завершить доказательство теоремы по n=4, но второй вариант («длинный») ценен еще и тем, что помимо доказательства по n=4 он позволил получить некоторые результаты, имеющие общий характер за пределами n=4.

 

Доказательство 2.

Можно показать невозможность полного выполнения в целых и выражений «2» и «3» в (2.8).

В [4] «разрабатывается» только одна тройка – «2», здесь «разрабатываются» совместно обе. Обратимся к параметрам троек «2» и «3». В [4] они обозначены как a и b (для тройки «2»). Здесь нужны параметры обоих троек. Обозначим параметры тройки «2»как a1b1, а для тройки «3» как a2b2. Предполагаем параметры с обычными свойствами (каждая пара из взаимно простых противоположной четности с возможностью взаиморазмена). Параметры a1b1 и a2b2 взаимосвязаны, но не являются взаимно простыми между собой (помимо «2» могут иметь и другие общие делители).

Будем считать a1>b1a2>b2. Для троек «2» и «3» (2.8) можно составить p=a12+b12=a22-b22 , из чего следует a2>a1, а из q=2a1b1=2a2b2  тогда выходит b1>b2, что позволяет составить «цепочку» соотношений параметров: a2>a1> b1>b2.

По числовым значениям любой тройки можно всегда определить ее параметры: квадрат большего параметра равен полусумме двух ее нечетов, а квадрат меньшего – их полуразности. Тогда для тройки «2» a12=p+y/2 , b12=p-y/2 , а для тройки «3» a22=z+p/2 , b22=z-p/2 .

Из совместности «2» и «3» также следует z>p>y. Выразим z и y через p, используя выражения для полусумм и полуразностей

1.  y=2a12-p ,     2.  y=p-2b12 ,    3.  z=2a22-p ,            4.  z=p+2b22 .   (3.2)

Из выражений «2» и «3» (2.8) выводится

q2=p2-y2 ,               q2=z2-p2 .                         (3.3)

Четный член пифагоровой тройки q обязательно содержит в себе 22, а в q2, следовательно, не менее 24. Тогда q2 можно представить как q2=4u2 , где u – тоже четное число.

Из четырех, суммарно, выражений для y и z (3.2) можно составить четыре различных сочетания вида (3.3). Возьмем, например, y «2» и z «4».

q2=p2-y2=p2-p-2b122=4pb12-b14=4u2    =>   pb12-b14=u2 ,

из чего выводим

p=u2+b14b12 .                                                  (3.4)

q2=z2-p2=p+2b222-p2=4pb22+b24=4u2    =>   pb22+b24=u2 ,

из чего выводим

p=u2-b24b22 .                                                  (3.5)

Из уравнения – равенства правых частей (3.4) и (3.5), решив его относительно u2 , получим вид главного выражения доказательства

u1=b12b22b12+b22b12-b22=b12b22b1b22+1b1b22-1 .                     (3.6)

Это выражение замечательно тем, что содержит в себе дробный сомножитель, сводящийся к дважды дробному. Можно доказать, что такой сомножитель не может быть квадратом целого числа.

Дробь может быть квадратом целого при условиях

1. Числитель больше знаменателя и оба они являются квадратами целого, причем знаменатель входит в сомножители числителя; 2. Числитель и знаменатель являются целыми и не являются квадратами, но их отношение дает квадрат. Это возможно, если числитель содержит сомножитель – квадрат, а второй сомножитель равен знаменателю (например, 12/3=4=22, 45/5=9=32 и т.п.)

Предположив b1/b2 – целое число, получаем для первого условия состояние: сумма квадрата с единицей и разность того же квадрата с единицей должны быть квадратами и в частном давать квадрат. Это невозможно уже потому, что сумма и разность квадрата любого целого числа с единицей не может, как известно, быть квадратом. Остается второе условие: неквадрат на неквадрат равно квадрат. Но и этого здесь не может быть, поскольку при превышении числителя над знаменателем всего на две единицы только (1+2)/1=3 и (2+2)/2=2 являются целыми числами, а для всевозможных других чисел выходят нецелые ((3+2)/3=5/3, (4+2)/4=3/2 и т.д.).

Итак, величина u2  (3.6), получившая выражение через три сомножителя, два из которых – квадраты целых чисел, а третий (дробь) не является квадратом целого, также не является квадратом целого числа (u – нецелое число). Следовательно, q=2u, входящее во все три выражения (1, 2, 3 (2.8)) нецелое число.

Аналогичные (3.6) выражения можно получить и для других (оставшихся) сочетаний взаимосвязей по y и z в (3.2). Приводится «сводка» выражений вида (3.4), (3.5), (3.6) для оставшихся трех сочетаний y и z в (3.2). Для определенности каждая комбинация таких выражений помечается двумя цифрами (в скобках) – номерами соотношений в (3.2), на основании которых были получены эти выражения.

1,3 p=u2+a14a12  и   p=a24-u2a22;  u2=a12a22a22-a12a22+a12,1,4 p=u2+a14a12  и   p=u2-b24b22;  u2=a12b22a12+b22a12-b22,2,3 p=u2+b14b12  и   p=a24-u2a22;  u2=a22b12a22-b12a22+b12.Для полноты “сводки” и удобства ссылок повторяется уже рассмотренный аналогичный набор 3.43.5, (3.6)2,4 p=u2+b14b12  и   p=u2-b24b22;  u2=b12b22b12+b22b12-b22.             (3.7)

Все дробные выражения в u2  (3.7) также могут быть приведены к виду (3.6) (сумма и разность квадратов с единицей в числителе и знаменателе) с аналогичным выводом: «дробь» не может быть квадратом и само u2  поэтому также не может быть квадратом целого числа. По (1,3) и (2,3) (3.7) еще проще: числитель меньше знаменателя и «дробь» число, меньшее единицы.

Общие выводы. По любому из четырех u2  (3.7) выходит, что u - нецелое число. Тогда из q=2a1b1=2a2b2=2u  следует a1b1=a2b2=u  – ряд нецелых чисел. В произведениях сомножителей (параметров)a1,2b1,2  только по одному целому числу. Следовательно, вторые – нецелые.

При наличии нецелых параметров расчет членов пифагоровой тройки по (2.2) не может дать их полного целочисленного значения. Следовательно, тройки «2» и «3» (2.8), отнесенные к доказательству по n=4, не могут быть совместно пифагоровыми.

Это доказывает теорему Ферма для n=4.

Для наглядности ко всему представленному приводятся подобранные числовые примеры.

1. Принимаем b1=3b2=2. По (2,4) (3.7)

u2=b12b22b12+b22b12-b22=322232+2232-22=93,6 .

Цифра точная, но не квадрат и даже не целое.

q=2u=293,6 ; p=u2+b14b12=93,6+3432=19,4  и p=u2-b24b22=93,6-2422=19,4

x2=2pq=2∙19,4∙293,6=2219,4∙93,6 ;

y2=p2-q2=19,42-22∙93,6=1,96=1,42 ;

z2=p2+q2=19,42+22∙93,6=750,76=27,42

x4+y4=x22+y22=22∙19,4∙93,62+1,962=563640,5776 ; z4=z22=750,762=563640,5776

Все основания (2.6) нецелые, но «баланс» выполняется.

Вторые параметры троек «2» и «3» (2.8)

a1=q2b1=293,62∙3=93,63=3,224… a1>b1 ,

a2=q2b2=293,62∙2=93,62=4,837… a2>b2 .

В этом примере, кроме двух параметров (b1b2), все остальное – нецелое.

2. Принимаем a1=6 , b2=2 . По (1,4) (3,7)

u2=a12b22a12+b22a12-b22=622262+2262-22=180=2232∙5 .

Целое число, но не квадрат целого.

q=2u=125 ; p=u2+a14a12=180+6462=41  и p=u2-b24b22=180-2422=41

x2=2pq=2∙41∙125=23∙3∙415 ;

y2=p2-q2=412-122∙5=961=312 ;

z2=p2+q2=412+122∙5=2401=492=74

x4+y4=x22+y22=23∙3∙4152+9612=5764801 ; z4=24012=5764801

Все основания (2.6), кроме x, оказались целочисленными и само равенство выполняется.

Вторые параметры троек «2» и «3» (2.8)

b1=q2a1=1252∙6=a1>b1 ,

a2=q2b2=1252∙2=35 a2>b2 .

«Пример 2» выделяется тем, что тройки «2» и «3» выходят с полностью целочисленными степенями всех своих составляющих и дают точные итоговые квадраты (y и z). Но в обоих тройках содержатся нецелые числа (q), поэтому их нельзя считать пифагоровыми.

Проверка составляющих троек «2» и «3» обычным их определением через параметры подтверждает их ранее приведенные значения.

По тройке «2» p=a12+b12=62+52=41 ; q=2a1b1=2∙6 5=125 .

y=a12-b12=62-52=31 .

По тройке «3» p=a22-b22=352-22=41 , q=2 a2b2=2∙35∙2=125 , z=a22+b22=352+22=49 .

Приведенные числовые примеры подтверждают справедливость всех предшествующих теоретических положений.

 

В «доказательстве 2» по n=4 было показано, что у двух троек «2» и «3» (2.8) может быть суммарно только два целочисленных параметра. Если они по одному у двух троек, то обе тройки не могут быть пифагоровыми. А если предположить, что эти два целых параметра принадлежат какой-нибудь одной из двух троек, то каковы будут параметры второй тройки и какова она будет сама?

Из полученного ранее выражения q2=4u2  и значений q=2a1b1=2a2b2  следует 4a12b12=4a22b22=4u2 , откуда выходит

a12b12=a22b22=u2 ,                                    (3.8)

где u2  – квадрат целого при целочисленности одной из пар параметров. А вторая пара? – она же тоже, выходит, должна быть квадратом целого. Да, конечно, но только в произведении нецелых параметров.

Произведение нецелых сомножителей, дающих квадрат целого – рядовой случай (например, 6/5×15/2=9=32, 15/7×35/3=25=52 и т.п.). Докажем нецелочисленность в одной из пар (3.8) при целочисленности другой.

Возьмем, например, для «стандартной» тройки «3» (2.8) целые параметры a2b2 и обратимся к формулам (3.7). u2  в любой из них представляет произведение трех сомножителей: квадратов двух параметров по одному для каждой тройки «2» и «3» и сомножителя – дробь. Из трех сомножителей один (a22  или b22 , как принято) – квадрат целого, но при u2  – тоже квадрат целого два других (квадрат второго параметра и дробь) также должны давать квадрат. Но при (как уже было доказано) дробь – неквадрат этот второй сомножитель (a12  или b12 ) не может быть квадратом целого – он квадрат нецелого числа.

Все аналогично, если разменять целые параметры между тройками «2» и «3» – будут нецелыми параметры a2b2.

Для наглядности, как это получается в данном случае, приводится числовой пример.

Возьмем произвольно для тройки «3» a2=5b2=2.

Получаем: z=a22+b22=52+22=29 , p=a22-b22=52-22=21 , q=2a2b2=2∙5∙2=20 .

Все составляющие тройки «3» (2.8) целочисленны, она – пифагорова тройка. Параметры тройки «2» (2.8) можно найти по одинаковым для обоих троек значениям p и qp=a12+b12 , q=2a1b1 . При двух неизвестных в двух уравнениях находим

a12=12p2-q2 , b12=12p∓p2-q2 .

Так как должно быть a1>b1 , то

a12=12p+p2-q2=1221+212+202=21+412 , b12=12p-p2-q2=21-412 .

Оба параметра a1b1 – нецелые числа.

Определим последнюю из неизвестных составляющих троек «2» и «3» (2.8) – y в «2». Воспользуемся параметрами тройки - a1b1.

y=a12-b12=12p+p2-q2-p+p2-q2=p2-q2=212-202=41 .

y – нецелое число, тройка «2» – не пифагорова.

Получим в числах выражение (2.6).

x=2pq=2∙21∙20=840 , y=41 , z=29 .

x4+y4=8404+414=707281 , z4=294=707281 .

«Баланс» выполняется при нецелых xy и целочисленном z.

Из формулы (3.8) имеем явное u2=a22b22=5222=100=102 . Значение a12b12=21+41221-412=14212-412=14441-41=4004=100=102  дает (как и должно быть) то же самое. Посмотрим, как такой результат выходит из «сложной» формулы для u2  по (3.7). Должно выходить по любой. Возьмем, например, первую – (1,3)

u2=a22a12a22-a12a22+a12=5221+41252-21+41252+21+412=5221+41229-4171+41 .

Выполнив перемножение в числителях и приведя подобные члены, получим по этому выражению

u2=528271+4171+41=5222=100=102 .

Получен ожидаемый результат, причем произведение a12  дробь в (1,3) (3.7) оказалось квадратом целого числа и притом единственно возможного в данном случае – квадрата b22 .

Аналогичными действиями можно получить тот же итоговый результат по всем остальным формулам для u2  в (3.7). В числителе и знаменателе везде выделяется сократимая сумма или разность некоторого целого числа с 41  и остаются только квадраты целых чисел a22 b22 .

Несомненно, что в принципе все эти особенности будут выполняться в отношении a2b2, если целочисленными будут a1b1.

Можно заключить, что, собственно, все «доказательство 2» вместе с «добавкой» – пара целых параметров у одной из троек – может рассматриваться как самостоятельная задача – доказательство невозможности иметь совместно сумму и разность квадратов двух, одних и тех же, чисел (чет и нечет), равные квадратам целых чисел (напомним, что сумма квадратов двух нечетов – всегда неквадрат).

Решение этой задачи доказывает и теорему Ферма по n=4, следствием которой и явилась такая ситуация. Можно еще больше абстрагироваться и заявить, что доказана никем, похоже, еще не доказанная теорема, которую можно назвать как

Теорема о сумме и разности квадратов

с такой формулировкой: сумма и разность квадратов двух, одних и тех же, чисел не могут совместно быть квадратами целых чисел. Они или обе в нецелых или квадратом является только одна из них – сумма или разность.

 

Наличие доказательства «Теоремы о квадратах» вместе со «старым» доказательством теоремы Ферма по n=4, приведенного в [4], позволяет вынести окончательный «приговор» (по мнению автора, конечно) методу бесконечного спуска. Но по порядку.

В разделе «2. О методе бесконечного спуска» было показано, что главный «канон» этого метода – сведение доказательства о невозможности выполнения соотношения полностью в целых числах к невозможности бесконечного убывания значений положительных чисел (метод доказательства «от противного») – несостоятелен.

«Убывание соотношения» осуществляется только «на буквах» – в формулах (на числах это показать нельзя, так как действительно невозможное соотношение и будет на числах в нецелых).

В главе «2» показано, что и «на буквах» убывание не может быть ad infinitum, так как под «буквами» все же «скрываются» числа, а они действительно не могут убывать бесконечно. Тогда выходит метод конечного спуска, а он уже ничего не доказывает. В примерах «2» и «3» главы «2» показано, к чему он приводит – к абсурду.

Теперь вернемся к указанному вначале «приговору».

В подразделе 3.3 основной работы (терема о «площадях») анализируется доказательство этой теоремы в [4]. Оно неверно, т.к. основано на методе спуска. Я «передоказал» эту теорему на основе доказательства по n=4 в предыдущем подразделе 3.2.

Так вот, в доказательстве теоремы «о площадях» по [4] в качестве «подпорки» (а без нее не было бы и спуска) использовано: сумма и разность квадратов одних и тех же чисел – обе (?!) равняются квадратам. Перед этим, в этой работе, было доказано, что это невозможно.

Можно утверждать, что в любом доказательстве по методу спуска обязательно найдется такой «промах» – чтобы получить спуск нужно какое-то невозможное использовать как возможное. Конечно, это бессознательно. Объяснить это можно только неучетом чего-нибудь известного, а, наиболее вероятно, незнанием неизвестного.

В доказательстве по n=4 в [4] принят возможным невозможный спуск пифагоровых троек, в доказательстве «о площадях» невозможность двух квадратов принята возможной.

Итак, можно полагать, что метод спуска несостоятелен и ошибочен уже и потому, что сам спуск невозможного невозможен!

Я уже признавался, что я не математик, я – рядовой инженер, может, в чем и «напутал». Но почему не сказать, ведь в Интеренте не только «есть все», но и «можно все» …

 

4.                Ответ на заглавный вопрос – нет не доказана.

Дополнения. Заключение

Как известно, уже давно установлено, что для доказательства теоремы Ферма нужно решить две задачи – доказать ее для n=4 (неизмеримо меньшая часть) и для всех n – простое число, так как доказанность для простых чисел доказывает теорему и для всех остальных.

Доказательство для n=4 было получено в самом начале работы над теоремой (более ста лет до нашего времени), затем была эпоха неудачных попыток доказательства теоремы и вынужденных частичных доказательств по нарастающим n – простое число. И вот, наконец, успех – в конце 20-го века (1994 г.) теорема Ферма доказана англичанином Эндрю Уайлсом.

Но по приведенным в публикации [3] сведениям она доказана именно только для нечетных n в предположении, что для n=4 она доказана. А, как доказано в этой работе (и убедительно, по мнению автора), «старинное» доказательство по n=4 оказалось ошибочным. Так, следовательно, полного доказательства теоремы Ферма до сих пор нет (и никто не знает об этом)!

Полагаю, что трудами автора настоящей работы этот «пробел» закрыт – доказательство для n=4 (и даже два) приведены в разделе «3» этой работы (также считаю их достаточно убедительными).

Так что – да здравствует полное доказательство теоремы Ферма? Может быть.

Теперь уместно вернуться к данному в самом начале работы обещанию пояснить частичность этой работы по отношению к основной, представленной только оглавлением.

Как уже было сказано, я никому из своих «знакомых и близких» о своей работе не говорил (причины понятны). Когда уже что-то «вышло» я «поделился» все же.

Работа (основная) получилась, к сожалению, довольно большой (более 100 страниц рукописи – у нее оказалась тенденция к «раздуванию», как, в какой-то мере, и в излагаемой здесь). Ввиду имеющегося доказательства Уайлса мне посоветовали ограничиться публикацией только материалов по n=4. Остальное сочли малоценным.

Насчет «малоценности» я не совсем согласен, но совет посчитал разумным, что и исполняю. Но я обращаюсь к «основной» за «поддержкой», по необходимости. Частично это будет продолжаться и в дальнейшем.

Посмотрим критически и на доказательство Уайлса («кощунство» – это с высоты рядового инженера-то, когда и профессиональные математики не все в нем могут разобраться, но почему «не сказать …», как было сказано выше – Интернет же, да и «посмотрим» – это так, внешне).

Есть некоторый скепсис к нему.

В публикации [2], описательной в основном, о нем говорится с экстазом, как о достижении тысячелетия, но отмечается, что есть и «несогласные». Не так давно (с опозданием на более, чем 10 лет) по нашему радио было о нем сообщение с примечательным добавлением: «его считают никуда не годным». Не от себя же диктор это добавил, кто-то другой, возможно компетентный.

Но это, наверно, просто эмоциональное выражение (обширность текста доказательства – 120 страниц журнального текста, сплошные «непонятки» даже для математиков). Если это результат глубокого анализа, то где он? – сенсация ведь.

Со стороны автора есть такое замечание. В публикации [2] говорится о каком-то принципе «минимальности» в доказательстве Уайлса и говорится (цитируется): «Именно здесь возникает фантом самого Пьера де Ферма, поскольку при таком пересчете оживает то, что обычно называется «Ferma’t descent», или редукцией (или «методом бесконечного спуска Ферма»).»

Как это понимать? Если в доказательстве Уайлса есть хоть «капля» от метода спуска, то – «что думать»? … Впрочем, там же, в [2], говорится, что эту «минимальность» в доказательстве Уайлса еще никто не понял. Но тем не менее указывается, что впредь никакие элементарные доказательства теоремы Ферма не будут даже читаться, так как других доказательств, кроме доказательства Уайлса, не может быть – оно единственно возможное. Не «перебор» ли?

А у меня-то, похоже, как раз «элементарщина». Правда, у меня нет (к сожалению, конечно) полного доказательства, но есть «приближенно, округленно» доказанность теоремы на 99%, а в пределе так и на сто точно. Есть перспективы на «остаток» (будет сказано немного). Полагаю заслуживающим интереса и внимания.

Далее, со всевозможными сокращениями (не в ущерб главному), приводится «малоценная» часть основной работы из раздела «Дополнения» (частично переработанная) – «Повышение меры доказанности …» и «О возможностях …» (они взаимосвязаны). Автор полагает, что в них все же есть кое-что и ценное.

 

Дополнения

1. Повышение меры доказанности теоремы Ферма

В разделе «1» этой работы была показана методика частичного доказательства теоремы Ферма (принципиально отличная от применявшихся ранее) с оценкой меры доказанности только по всем нечетным n в процентах (получены точные формулы).

Эта методика предполагает сведение исходного (1.1) к выражениям: сумма или разность нечетов равна чету. Эти выражения всегда можно представить произведением двух сомножителей – четного («меньший») и нечетного («больший»). Теорема Ферма доказана, если удастся доказать, что хотя бы один из двух сомножителей не может быть степенью n целого числа. Конечно, при этом оба сомножителя должны быть взаимно простыми между собой, но по «четности» они взаимно просты, поэтому оценка «недоказанности» и «доказанности» по «двойке» у четного сомножителя полностью обоснована.

Мера «недоказанности» (а через нее и «доказанности») определяется отношением количества четных сомножителей, имеющих в себе «2» со степенью, кратной n, в некотором наборе всевозможных сочетаний нечетов ко всему количеству таких сочетаний. Изложена методика получения тех и других.

Естественно предположить: а если учесть и такие сомножители, у которых, кроме «2», и все входящие в него нечеты также имеют степени, кратные n, то таких должно быть намного меньше и поэтому «недоказанность» также будет меньше, а «доказанность» выше. Но при этом оба сомножителя разложения (1.1) должны быть полностью взаимно простыми.

Это доказывается.

В разделе «1» показано разложение (1.1) на два сомножителя для двух указанных способов разложения – формулы (1.8) и (1.9) на примере n=3. Они математически полностью идентичны, поэтому (принято возможным) можно ограничиться подробным рассмотрением (и для других n) только одного из них. Более удобным признан вариант с четным z=c-a.

Перепишем формулу (1.9)

b3=c3-a3=z3c2-3cz+z2                     (4.1.1)

В (4.1.1) c и a должны обязательно быть взаимно простыми. Тогда и z=c-a также будет взаимно простым как с c, так и с a, из чего следует: z и «скобка-бином» – взаимно простые числа.

Исключение представляет случай, когда в z окажется сомножитель «3». Тогда с «выносом» «3» из «скобки» (4.1.1) получит вид

b3=c3-a3=3zc2-cz+z23 .                     (4.1.2)

3z и «скобка» (z2/3 – целое число) – взаимно простые.

Известно, что первый числовой коэффициент (отличный от «1») в биноме Ньютона всегда равен степени бинома n. Поэтому все рассуждения о «взаимной простоте» четного и нечетного сомножителей в разложении на них (1.1), показанные на примере n=3, полностью справедливы для любого n.

Разложение можно представить в двух условно-символических разновидностей

1. bn=cn-an=z  («бином»)   и   2. bn=cn-an=nz  («бином»/n)   (4.1.3)

Для надежности указанные закономерности были проверены на большом количестве числовых (программных) расчетов с n=3 и n>3 (по возможностям МК-61). Случаев нарушения нет ни одного.

Итак, для определения меры «недоказанности» нужно выделять такие z или nz в (4.1.3), у которых все их собственные сомножители (начиная с «2») являются степенями, кратными n. Для варианта «1» (4.1.3), например, такое z  можно представить в виде

z=2knNz1t1nNz2t2nNz3t3n ,                                    (4.1.4)

где Nzi  – простые нечетные числа, k, ti  – числа натурального ряда.

Количество Nzi  неограниченно, их степени в общем случае различны. Поставленная задача о «мере» кажется неисполнимой. Но анализ проблемы с применением числовых выкладок выявил очень существенное упрощение, которое позволило все же получить конкретный результат.

Рассмотрим ситуацию с одиночным Nz  (1, 3, 5, 7, …) в (4.1.4). В этом случае z можно представить как

z=2knNztn                                              (4.1.5)

Возьмем к решению наименьшее n=3, Nz =1, k=t=1, дающие по (4.1.5) наименьшее zmin=2313=8 .

Воспользуемся исходным правилом определения меры «недоказанности». Она определяется отношением всех сочетаний ca, дающих z (4.1.5), ко всему количеству всевозможных сочетаний, ограниченных некоторым значением произвольного cmax . В разделе «1» приведена формула (1.15), выражающая аналитически такое отношение (отнесенная к y=a+b, но она «универсальна»). Перепишем (с модификацией) ее сюда

δ=rσi ,                                                     (4.1.6)

где r  – количество сочетаний ca с z по (4.1.5), σi  – количество всевозможных сочетаний ca в пределах cmax . В разделе «1» произошло сокращение, здесь нужно определять все составляющие (4.1.6).

В (4.1.6) σi - количество сочетаний ca в наборе при некотором cmincicmax  с перебором всех 1≤aici-2 .

«Наименьшее» сочетание ca есть 3(ci=3 , σ1=1 ), при ci=5  будут 5, 15, 3 (σ2=2 ), при ci=7  – 7, 17, 37, 5 (σ3=3 ) и т.д. Ряд σi  представляет арифметическую прогрессию с разностью «1», где каждое σi=ci-1/2 .

Сумма членов арифметической прогрессии выражается формулой

sn=a1+ann2 ,                                            (4.1.7)

где a1  – первый член прогрессии, an  – последний, n – их количество.

Подставив в (4.1.7) a1=1 , an=n=cmax-1/2 , получим

σi=cmax2-18 .                                           (4.1.8)

Для zmin=8  к формуле (4.1.5) получим из z=c-a  для amin=1  co=zmin+1=8+1=9 .

Определим вторую составляющую формулы (4.1.6) - r . При каждом cocicmax  может быть только одно z=8 в переборе всех z=ci-ai  от ai=1  до ai=ci-2 . Поэтому количество r  равно количеству ci отco  до cmax , которое выражается формулой

r=cmax-co2+1 .                                     (4.1.9)

Подстановка (4.1.8) и (4.1.9) в (4.1.6) дает расчетное выражение определения меры «недоказанности»

δ=4cmax-co+8cmax2-1 .                                       (4.1.10)

Начальное значение d получает при cmax=co . Для co=9  из (4.1.10) δ=0,110% ,  а ∆=0,990% . Но это не «ориентировочные» значения. Получившаяся функция δ=fcmax  (4.1.10) имеет экстремум(max). Из решения уравнения δ=0  находится значение переменной cmax  (обозначим cэ ) экстремума функции

cэ=2co-2 .                                          (4.1.11)

При получении (4.1.11) введено упрощение – «снято» «-1» при cmax2  в знаменателе (4.1.10). Наибольшая погрешность (при cmax=co=9 ) составляет 1,25%. При бо льших cmax  погрешность резко падает.

Для наименее возможного во всех случаях co=9  имеем cэ=2co-2=29-2=14  и по cmax=cэ  получим из (4.1.10)

δmax=0,14358974 14,358974%  и min=1-δmax=0,856410385,64103% . (4.1.12)

По «теории» (и по расчетам, конечно) функция δ=fcmax  при cmax>cэ  резко уменьшается (до точки перегиба) с дальнейшим монотонным убыванием по росту cmax . Точка перегиба (δ=0 ) находится «рядом» с «экстремумом» (около cmax =2,333 … co ).

Таким образом, функция δ=fcmax  имеет характерную особенность – она «вспучивается» в самом начале с последующим монотонным убыванием.

При k=2 в (4.1.5) z=26=64co =65cэ =126, что по cэ  дает

δmax=1,587401% min=98,61260% .

Для k=3 соответственно z=29=512co =513cэ =1022 и

δmax=0,195695% min=99,804305% .

Приведенные фрагменты из полных расчетов показывают, что с увеличением z (4.1.5), имеющих степень «2», кратную n (3 в примерах), значения δmax  резко уменьшаются (примерно в 10 раз на каждом шаге), а min  увеличиваются.

Полные d по (4.1.10) при каждом cmax, i  в некотором нарастающем наборе cmax  должны являться суммой всех d при каждом 1≤k≤∞  в (4.1.5).

Но функция (4.1.10) при cmax→∞  дает limδ=0 . Вывод.

Разделим числитель и знаменатель (4.1.10) на cmax2 . В пределе cmax=∞  все постоянные в сумме и разности становятся нулями, а от переменной остается

limcmax→∞δ=lim4cmaxcmax2=lim4cmax=4=0 , а lim∆=lim1-δ=1(100%) . (4.1.13)

То есть, выходит, что бесконечное количество рядов δi  по нарастающим cocmax≤∞  при k→∞  заканчивается результатом δ=0 . Следовательно, и их сумма в пределе cmax=∞  также равна нулю.

Подробнее о суммировании. В основной работе даны примеры и таблицы таких суммирований. Для сокращения ограничимся их описанием.

«Таблица суммирования» представляет собой строку значений cmax  от cmax=co  для наименьшего z по (4.1.5) (k=1 и t=1Nz в общем случае) до некоторого, возможно большего, cmax . Под каждымcmax  указывается значение d (4.1.10) для соответствующего co . Каждому co  – отдельная строка.

Для рассматриваемого случая (n=3k=1t=0 в (4.1.5)) первая строка значений d соответствует co=9 . Остальные строки - d при co  по k=2, 3, 4, … Важная деталь – начало каждой новой строки с возрастанием co  сдвигается «вперед» по отношению к предыдущей, причем «сдвиг» также все время возрастает. Выходит такая «лестница» с уходящими «вниз» все более и более «длинными ступенями».

В суммировании строк по столбцам (по cmax, i ) выходит: первая часть суммы повторяет значения первой строки от ее cmax=co  до cmax=co  следующей строки, затем складываются две строки, три и т.д. При этом, как указывалось, с удалением от начала складываются все меньшие и меньшие значения d, причем δmax  каждой строки никогда не складываются между собой.

В примере с n=3t=0 (4.1.5) вторая строка (k=2co =65) сдвинута на 28 позиций к первой, третья строка (k=3co =513) уже на 224 позиции и т.д.

При любом количестве слагаемых строк наибольшие d выходит по однострочному участку первой строки от co,1  до co,2 , а наибольшим изо всех является «пиковое» δmax  этой строки при ее co .

Таким образом, наибольшее d и наименьшее D для n=3t=0 (4.1.5) являются указанные в (4.1.12). Сравнение min=85,64103%  из (4.1.12) со значением ∆=85,71428%  из таблицы «1.1» первого раздела, полученным приемом «по двойке», показывает почти полное их совпадение (расхождение 0,085%).

Но нужно учесть, что min  (4.1.12) получено при cmax=cэ=14  – четное число, а по (1.1) c должно быть нечетным. Если в (4.1.10) подставить ближайшее к 14 нечетное с=13 или c=15, то выходит результат min=85,71429%  - точное совпадение с D таблицы «1.1».

Аналогичные приведенным для n=3t=0 были, конечно, проделаны расчеты и для других n=5, 7 и т.д. Вычислялись только δmax  и min  с z=2527 и т.д.

Вышло для n=5 min=96,77335% , для n=7 min=99,21259% . Сравнение с таблицей «1.1» раздела «1» показало, что только при n=5 есть небольшое расхождение, а начиная с n=7 и до n=25 (D»100%) все расчеты D точно совпадают. Расхождение по n=5 объясняется так же, как и для n=3. В остальных n разница в единицу (между четным cэ  и ближайшим нечетом) при больших co  уже незаметна.

Это удивительно! При таких разных методиках расчета получены абсолютно точные совпадения. Очевидно, это еще одно свидетельство правильности обоих методик.

В связи с этим сделан вывод: расчеты δmax  и min  по (4.1.10) для z=2kn∙1  (Nz=1) повторяют результат прежнего (раздел «1») расчета и должны относиться к нему. «Повышение меры» будем относить только к z (4.1.5) с Nz>1 и t>0.

 

Наименьшим zmin  при n=3 и Nz>1 является zmin=2332=72  (в z есть Nz=n, поэтому он должен входить со степенью n-1). По приведенным выше зависимостям имеем co=zmin+1=73 , cэ=2co-2=142 , при cmax=cэ  по (4.1.10) δmax=1,408520%  и min=98,59148% .

Значения d после «всплеска» на cэ  резко падают до точки перегиба (cn  чуть больше 2co ), а затем монотонно убывают. Повторяются закономерности по zmin=2kn .

Вариации с k>1 и t>1 в (4.1.5) по принципу co,i+1>co,i  дают много меньшие δmax  и убывающие d.

Но, в отличие от случая с z=2kn , в суммировании нужно учитывать не только вариации с k и t при данном Nz, но то же самое и для других Nz>3.

Такие расчеты были проделаны (для n=3 до Nz=19). Во всех случаях выявляется одинаковая особенность: в суммарной таблице значений d по одинаковым cmax  при любом количестве строк (вариации с k и t при каждом Nz) обязательно получается однострочный участок первой строки, где всегда находятся наибольшие d по отношению ко всей остальной таблице (она представляет уже описанную «лестницу» со все более «длинными ступенями», содержащими все меньшие и меньшие значения d).

Указанный участок принадлежит строке с исходным z (4.1.5) c k=1Nz=3t=1. Значение δmax=1,408520%  этой строки (указан выше) и является наибольшей мерой «недоказанности» для n=3 в общем случае. А min=98,59148%  - наименьшая мера доказанности теоремы Ферма для n=3.

А как с другими n>3? Были проделаны аналогичные расчеты для n=5 и n=7 (для n=5 Nz от 3 до 11, для n=7 Nz от 3 до 9). Удивительно, но вышел, в принципе, тот же результат, что и по n=3: наибольшие d - в однострочном участке первой строки с исходными zmin=2535=7776 , для n=5 и zmin=2737=279936  для n=7 (в основной работе приведены табличные фрагменты таких расчетов).

Значения δmax  этих строк и есть мера «недоказанности» для n=5 и n=7. Сделан вывод, что это справедливо для всех нечетных n: наибольшему δmax  и наименьшему min  соответствует zmin=2n3n (единственный случай равенства n – простое число, равное «3», равно Nz=3 рассмотрен выше).

Значение δmax , как было показано, соответствует cmax=cэ  в формуле (4.1.10). Выразив из (4.1.11) co  через cэ  и подставив его в (4.1.10), получим после преобразований δmax=2cэ/cэ2-1 . «Сняв» единицу в знаменателе (наибольшая погрешность при n=3 составляет 5∙10-3% ), получим δmax=2/cэ .

Выразив cэ  (4.1.11) подстановкой co=zmin+1 , получим после преобразований

δmax=1zmin-1       и       min=zmin-2zmin-1 .                (4.1.14)

Подстановка zmin=2n3n=6n  в (4.1.14) дает

δmax=16n-1 ,        min=6n-26n-1 .                            (4.1.15)

Интересно сравнить формулу (4.1.15) с формулой (1.19) первого раздела. Они идентичны «по форме» с увеличением основания степени в 3 раза. Это, конечно, должно привести к увеличению min . Приводится таблица расчетов min  (4.1.15) по возрастающим n.

Таблица 4.1. Полная мера доказанности теоремы Ферма

n

3

5

7

9

11

D%

98,591549

99,987138

99,999642

99,99991

~100

 

Значение D при n=3 по (4.1.14) завышено, как отмечалось, на 0,005%. Непростое число n=9=32 включено для «общей картины» (вводилось z=293(9-2) ).

Из сравнения таблиц «4.1» и «1.1» первого раздела видно, что при n=3 повышение более 10%, а результат ~100% достигается уже при n=11 вместо n=25.

Изложение «малоценного» материала (нет же полного доказательства) ценно все же тем, что в нем открылись некоторые ценности общего характера.

Во-первых, тем, что из (4.1.15) легко выводится – предел min  при n→∞  равен «1» (100%), что, впрочем, повторяет вывод к формулам (1.19) первого раздела.

Во-вторых, и это наиболее важно, по (4.1.13) выведено, что предел d (4.1.10) при cmax→∞  равен «0», а D=1 (100%). Это означает, что при любом n (3, 5, 7, …) теорема Ферма доказана и в пределеcmax=∞  для (1.1) (n входит в co=zmin+1  посредством z).

И, в третьих, в «повышении меры …» заложены основы «гипотезы» о возможностях полного элементарного доказательства теоремы Ферма.

 

2. О возможностях полного «элементарного» доказательства теоремы Ферма

По литературным данным «В настоящее время все специалисты твердо уверены в том, что Ферма не обладал доказательством этой теоремы и, сверх того, что элементарными методами ее нельзя доказать.» (публикация [3]).

Насчет «обладания» можно кое-что сказать, но об этом позже, а сейчас об «элементарности». Что относят к элементарным методам? Только алгебру и геометрию или и весь аппарат традиционной так называемой «высшей математики» (дифференциалы, интегралы, пределы, ряды и др.). Похоже – все вместе. В моей работе такие элементы применяются и предлагается развитие.

Итак, ранее было доказано, что исходное уравнение (1.1) всегда можно привести к виду: четно-численный член (1.1) равен произведению двух взаимно простых сомножителей – четного и нечетного. Показано, что достаточно ограничиться случаем – четным членом является одно из двух слагаемых в левой части (1.1). Вид разложения представлен формулами (4.1.3). Нужно доказать, что три составляющих этих выражений не могут совместно быть степенями целых чисел.

Четный сомножитель, как показано в предыдущем, может всегда являться такой степенью, второй сомножитель и их произведение – под вопросом. Задача внешне схожа с рассмотренной в «примере 3» раздела 2: там один сомножитель и их произведение – квадраты, второй сомножитель – под вопросом (нужно доказать, что он тоже квадрат).

Доказательство (пример взят из постороннего источника – книги [4]) осуществлено методом спуска. Приняв исходно явно абсурдное предположение (квадрат не считать квадратом) это исходно целочисленное в степенях соотношение успешно спускается. «Доказательство» получено.

Любопытно, что такой прием подошел бы и к «нашей» задаче, и без абсурдных предположений. Обозначим z и nz в (4.1.3) как Nч (четное число), а «бином» как Nн (нечетное). Тогда (4.1.3) получит вид

Nч∙Nн=bn ,                                            (4.2.1)

где Nч – степень nNн и bn  – целые числа, но неизвестно (на самом деле) являются ли они степенями целых.

Степень Nч должна входить и в bn . Выполнив сокращение (4.2.1), получим

Nнo=bn=Bon .                                        (4.2.2)

Нужно доказать, что Nнo  и Bon  не являются степенями целых чисел. В полном соответствии с правилами метода спуска предполагаем, что являются. Пусть в Bon  (4.2.2) есть сомножитель Pon , но тогда он есть и в Nнo , сокращаем

NнoPon=Nн1 ,     BonPon=B1n ,     Nн1<Nнo ,     B1n<Bon  и т.д.

Получен «стандартный» процесс спуска: соотношение «уменьшается», оставаясь целочисленной степенью (ad infinitum). Можно закончить также «стандартным» выводом: «… мы указали бесконечную убывающую последовательность положительных целых чисел, существование которой невозможно.»

Теорема Ферма доказана? Ерунда, конечно – это еще один пример «никуда негодности» метода спуска.

Но если в доказательстве Уайлса есть «спуск» (о такой возможности сказано в публикации [2]), то каков вывод? Приведенное «доказательство» даже короче.

Но будем считать, что в доказательстве Уайлса «спуска» нет. Означает ли это, что попыток доказательства больше не будет? Полагаю, что нет, их, конечно, станет намного меньше. Человек не удовлетворится таким сложным и «заумным» доказательством, будет искать другие.

И что за диво! Теорема Ферма, в сущности, как видится, не представляет большой научной и практической ценности. В [2] доказательство Уайлса поставлено в один ряд с открытием закона тяготения и законов сохранения. Но через закон тяготения мы узнали, почему падают яблоки и не разлетаются планеты от солнца, а без законов сохранения до сих пор бы шли perpetuum mobile. А что дает или даст доказательство теоремы Ферма, в чем «прорыв», что в нем вселенского?

Почему же она имеет такую огромную популярность? «Маслом в огонь», конечно, явилось заявление самого Ферма о том, что им получено простое и короткое доказательство. Но почему «все ринулись»? Дело, наверно, не только в премии за ее доказательство (премия невелика, да и учреждена она только в 20-м веке). Причина, повидимому, в извечной пытливости человеческого ума, стремлении все познать. Загадки его мучают и привлекают.

 

Итак, поиски менее сложных доказательств не прекратятся. Элементарная математика (с указанными выше обобщениями) не может иметь предела своего развития, как и любая область знаний.

На базе материала предыдущего подраздела были получены некоторые возможности – предпосылки, которые, на взгляд автора, могут «пригодиться» в указанных поисках.

Было показано, что исходное (1.1) можно свести к выражениям (4.1.3) (достаточно учитывать «чет» только в левой части (1.1)). Будем учитывать только n – простое число.

Для n=3 формулам (4.1.3) соответствуют выражения (4.1.1) и (4.1.2)

  1. 1.  z3c2-3cz+z2=b3 ,     2.  3zc2-cz+z23=b3     (4.2.3)

z и 3z являются кубами, входящими в b3 . Обозначим b3/z  и b3/3z  как Nb3 , где Nb3  – нечетное число. С учетом этого (4.2.3) можно представить в виде стандартных алгебраических уравнений

3c2-3cz+z2=Nb3  или  c2-cz-13Nb3-z2=0  иc2-cz+z23=Nb3   или  c2-cz-Nb3-z23=0               (4.2.4)

Аналогичные уравнения можно получить для всех нечетных n (простое число). Методика получения биноминальных выражений для всех n одинакова. В общем случае в преобразованное (1.1) к видуcn-an=bn  (bn  – четное число) подставляется a=c-z  (из z=c-a ), что дает cn-(c-a)n=bn . (c-a)n  раскрывается биномом Ньютона. Первый член бинома (cn ) взаимно уничтожается с первым членом уравнения и остается бином без первого члена и с противоположными знаками. Все члены сокращенного бинома содержат z с разными степенями, начиная с «1», что позволяет вынести его за скобку – бином и выполнить аналогичное с n=3 преобразования.

Так для n=5 и n=7 получено

для n=5

z5c4-10c3z+10c2z2-5cz3+z4=b5=z∙Nb5 .

При отсутствии «5» в z конечное уравнение

c4-2c3z+2c2z2-cz3-15Nb5-z4=0

При наличии «5» в z                                                                     (4.2.5)

c4-2c3z+2c2z2-cz3-Nb5-z45=0

для n=7

z7c6-21c5z+35c4z2-35c3z3+21c2z4-7cz5+z6=b7=z∙Nb7 .

При отсутствии «7» в z конечное уравнение

c6-3c5z+5c4z2-5c3z3+3c2z4-cz5-17Nb7-z6=0

При наличии «7» в z                                                                     (4.2.6)

c6-3c5z+5c4z2-5c3z3+3c2z4-cz5-Nb7-z67=0

Таким образом, любой нечетной степени n соответствует уравнение четной n-1 степени по переменной c. Теорема Ферма будет доказана, если будет доказана невозможность целочисленных решений уравнений представленного вида. Достаточно быть нецелой одной из трех величин в таких уравнениях. Величина z уже была представлена степенью n целого числа. Принимаем Nb  – целое число, а c - искомое. Нужно доказать невозможность целочисленности корней уравнения четной n-1 степени.

Общее выражение уравнения n-й степени для любого n имеет вид aoxn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 , которое упрощается приведением к виду

xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 ,                  (4.2.7)

коэффициенты которого соответствуют делению всех коэффициентов исходного уравнения на его ao  (в (4.2.7) он равен «1», а остальные уменьшены).

Уравнения (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) соответствуют виду (4.2.7). Коэффициенты ai  при переменной c представляют собой произведения числовых коэффициентов на степени z, свободному члену an соответствуют выражения со скобкой с противоположным знаком. Нужно выявить особенности корней таких уравнений.

Известно, что их общее количество (действительные, мнимые, кратные) равно степени n уравнения (4.2.7) (m=n-1 в данном случае). Обозначим свободный член всех уравнений как an=-D  и рассмотрим самое простое уравнение (4.2.4) для n=3. Имеем

c2-cz-D=0 .                                       (4.2.8)

Решение:

c=z2±z24+D .                                       (4.2.9)

Подстановка двух выражений D (4.2.4) дает

c1,2=z2±13(Nb3-z24)     и    c1,2=z2±Nb3-z212 .              (4.2.10)

Было предположено: а не повторится ли двучленность сопряженных корней типа (4.2.9) с известным первым членом и для других n, в частности для n=5 и n=7.

Предположено, что корни уравнений для всех n – нечет имеют вид

ci, i+1=z2±Uj ,                                   (4.2.11)

где imin=1 , i+1max=n-1 , jmin=1 , jmax=(n-1)/2 .

Чтобы проверить возможность такой двучленности и для n>3 было проделано несколько расчетов по уравнениям (4.2.5) и (4.2.6) приближенными методами решения (наиболее подходит метод касательных). Корни определялись до «устойчивости» не менее пяти знаков после запятой. В качестве первых приближений нужно брать c0>z/2  и c0<z/2 . Получив корни c1  и c2 , находим по (4.2.11) два U1 . Подтверждением должно явиться равенство обоих U1 . Расчеты по n=5 и n=7 дали такой результат. Возможность двучленности подтверждена.

Но все ли корни (мнимые, в частности) имеют такой вид? Если для n=3 их как раз два (m=2), то для n=5 их уже четыре, а для n=7 шесть и т.д.

Для уравнений вида (4.2.7) (ao=1 ) имеются формулы, определяющие все его коэффициенты через алгебраические выражения (суммы, произведения) всех n корней уравнения. Наиболее просто выражается коэффициент a1  – он (с минусом) равен сумме всех корней.

В уравнении четной степени (m=n-1 – четное число) количество корней – четное число. Если все корни (без исключения) имеют вид (4.2.11), то они распределяются на m/2 парных сочетаний, и при суммировании вторые члены (Uj ) будут взаимно уничтожаться, а реально суммируются только первые члены (z/2).

Тогда для n=3 (m=2) должно быть a1=-2∙z/2=-z , для n=5 a1=-4∙z/2=-2z , для n=7 a1=-6∙z/2=-3z  (для n=9 -4z, для n=11 -5z и т.д.). Сравнение с a1  по (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) показывает полное совпадение. Нет сомнений, что это справедливо для всех остальных n – нечет.

Двучленность корней вида (4.2.11) для всех уравнений n-1 степени полностью доказана.

 

Теперь нужно «разобраться» с разделением m корней на действительные и мнимые. Представим уравнения типа (4.2.4) и др. в виде функции

Fc=fc-D=0 ,                               (4.2.12)

где f(c)  – многочлен, содержащий степени c, а D – свободный член уравнений. В общем случае

1. D=1n(Nbn-zn-1) ,     2. D=Nbn-zn-1n .                 (4.2.13)

Первое для случая – в z нет n, второе – в z есть n.

Действительным корням уравнения F(c)  соответствуют точки пересечения графика f(c)  с ординатной линией, имеющей высоту – ординату, равную D. Таким образом, корни уравнений (4.2.12) зависят от геометрических свойств графика f(c)  (вид кривой, ее экстремумы, перегибы).

Рассмотрим уже представленные функции F(c)  для n=3, 5, 7

для n=3

fc=c2-zc ;    fc=2c-z ;    fc=2=const .

График функции f(c)  – типичная парабола с вертикальной осью симметрии по c=-a1/2  (z/2  в данном случае) с единственным экстремумом -z2/4  при том же c=z/2 .

для n=5

fc=c4-2c3z+2c2z2-cz3 ;      fc=4c3-6c2z+4cz2-z3 ;

fc=12c2-12cz+4z2=12(c2-cz+z23) .

Взяв по последнему fc=0  и получив уравнение c2-cz+z23=0 , находим c=z2±z24-z23=z2(1±13i) .

Корни fc=0  мнимые – точек перегиба нет, следовательно, график fc  для n=5 имеет только один экстремум и только два действительных корня. Решение fc=0  затруднительно, но подстановка c=z/2 в выражение fc  дает точный ноль.

Абсцисса экстремума сходится с n=3. Является ли ордината экстремума осью симметрии графика fc  для n=5. Был проделан числовой расчет значений fc  по ряду c для наименьшего z=25=32 . Дается фрагмент расчета.

Таблица 4.2. Значения fc  для n=5 при z=25

c

-19

-9

1

11

16

21

31

41

51

fc

1931217

514017

-30783

-183183

-196608

-183183

-30783

514017

1931217

 

Функция симметрична относительно c=z/2=16 , fc=0  при c=0  и c=z=32 , на участке от c=0  до c=z  fc<0 . График функции имеет параболический вид с двумя «ветвями», уходящими в +∞ .

для n=7

fc=c6-3c5z+5c4z2-5c3z3+3c2z4-cz5 ,

fc=6c5-15c4z+20c3z2-15c2z3+6cz4-z5 ,

fc=30c4-60c3z+60c2z2-30cz3+6z4=30(c4-2c3z+2c2z2-cz3+z45) .

Решение уравнений fc=0  и fc=0  в точности невозможно, но подстановка c=z/2  в выражение fc  дает точно ноль. Просчеты fc  по аналогии с таблицей 4.2 дают такой же результат: график fc  для n=7имеет параболический вид с осью симметрии по экстремуму c=z/2  и с уходящими «вверх» двумя «ветвями». Очевидно, здесь тоже только один экстремум и только два действительных корня.

Вполне вероятно, что такие свойства имеют все функции fc  для всех нечетных n. Но правдоподобное предположение еще не доказательство.

В функциях fc  и их производных по разным n открылись удивительные особенности. Оказалось, что производные бо льших n повторяют функции и производные меньших порядков меньших n. Так в скобках fc  по n=5 содержится fc  по n=3 плюс z2/3 . В скобках fc  по n=7 содержится fc  по n=5 плюс z4/5 . Для n=9 (непростое число, но для выявления общей закономерности тоже подходит)

fc=56(c6-3c5z+5c4z2-5c3z3+3c2z4-cz5+z67)

содержит в себе fc  по n=7 плюс z6/7 .

Несомненно, что fc  по n=11 будет содержать в себе fc  по n=9 и т.д. Это закономерность. Разумеется – все последующие по возрастанию порядка производные для всех n будут содержать в себе младшие производные по предшествующим n (проверено по всем n от 5 до 9).

Удивительные свойства у бинома Ньютона. Но что это дает для решения задачи о двух корнях? Дает.

Если у второй производной некоторой функции нет нулевых точек (не пересекает ось абсцисс, нет действительных корней), то функция не имеет точек перегиба и имеет только один экстремум.

Вторая производная по n=5 представляет «увеличенную» функцию fc  по n=3 и имеет такой же вид графика – парабола с минимумом при c=z/2 . Найдем его значение у fc  по n=5 подстановкой c=z/2 . Достаточно вычислить только «скобку»

c2-cz+z23=z24-z22+z23=z212=z23∙22>0 .

Все аналогично по другим n

n=7

c4-2c3z+2c2z2-cz3+z45=z424-2z423+2z422-z42+z45=z45∙24>0 .

n=9

c6-3c5z+5c4z2-5c3z3+3c2z4-cz5+z67=

=z626-3z625+5z624-5z623+3z622-z62+z67=z67∙26>0 .

Закономерность ясна: такой же расчет по n=11 должен дать z8/(9∙28) , для n=13 z10/(11∙210)  и т.д. Общую формулу таких результатов для любого нечетного n можно выразить так

f(c=z/2)V=zn-3(n-2)2n-3>0 ,                          (4.2.14)

где V – некоторое положительное целое число (оно связано со значениями коэффициентов бинома и не является существенным). Вывод из (4.2.14) таков.

Наименьшее значение fc  для любого нечетного n всегда положительно. Следовательно, вторая производная не может иметь нулевых значений, у нее нет действительных корней, а могут быть только мнимые (как уже было получено на примере с n=5, где оказалось возможным решение уравнения fc=0 ).

Следовательно, графики fc  всех нечетных n не имеют точек перегиба, что означает: графики имеют только один экстремум (минимум) с параболическим видом двух «ветвей», уходящих в положительную бесконечность.

Следовательно, опять же, графики fc  для всех n пересекаются с ординатной линией D по уравнениям (4.2.12) только в двух точках, из чего выводится: все уравнения (4.2.12) имеют только два действительных корня, все остальные – мнимые!

 

Естественно, конечно, было попытаться найти точные аналитические решения хотя бы некоторых уравнений (4.2.12) для n>3. Известно, что в общем случае для n>3 нет точных решений уравнений n-ой степени, за исключением некоторых частных случаев с n=4. Дальше – только приближенные решения.

Но для открытого (полагаю это так) класса уравнений четной m=n-1 степени, основанных на биноме Ньютона, оказалось возможным расширить зону точных решений. Решены уравнения четвертой (от n=5) и шестой (от n=7) степеней.

Это удалось получить с использованием формул, связывающих значения всех корней с коэффициентами уравнений. Для m=4 и m=6 выходит система разрешимых уравнений, сводящихся к конечному (квадратное для m=4 и кубическое для m=6). В основной работе приведены подробные решения этой задачи (обширные). Здесь дается только результат.

Для m=4 (n=5) действительные корни определяются формулой

c1,2=z2±z24+D-z24 ,                                  (4.2.15)

где D соответствует (4.2.13).

Для корней c3,4  также есть формула, в которой вторая часть аналога (4.2.15) содержит i=-1  – они мнимые.

Корни (4.2.15) проверены сравнением с полученными ранее приближенными решениями и обычной подстановкой в исходное уравнение (должен быть ноль). Везде сошлось.

Для m=6 (n=7) все оказалось намного сложнее, но решение было получено. Одной формулой выразить затруднительно (очень длинно), проще получить результат проходом несколько-звенного алгоритма (не приводится). Корни двучленные, действительных два, четыре мнимые. Проверка по аналогии с n=5 дала положительный итог.

Итак, двучленность корней, наличие среди них только двух действительных всесторонне доказана.

Двучлены (4.2.11) можно свести и к такому виду

c1c2=z2+U1z2-U1=z24-U12 .               (4.2.16)

Для доказательства теоремы Ферма нужно доказать невозможность целочисленности (4.2.16). Предположительно целые c1,2  должны быть нечетными, z2/4  всегда четное целое. Следовательно, U12 – нечетное. Для доказательства теоремы требуется доказать, что U12  – не квадрат целого числа (или вообще нецелое).

Можно напомнить, что материалами этой работы теорема Ферма доказана на минимум 99% (при n=3), а при n=11 уже приближенно 100%. Выходит, что все описанные выше сложности и «ухищрения» направлены на «борьбу» с максимум один процент «недоказанности». Всего чуть-чуть. Но ведь чем меньше «поле», тем легче отделить «колоски» от «сорняков».

Автор полагает (надеется), что если за дело возьмутся настоящие математики, то они смогут на этом «поле» найти «драгоценные колоски».

 

Заключение

Здесь уместно вернуться к обещанию, данному в самом начале подраздела «О возможностях …». Оно относилось к цитированию из [3] о возможности «обладания» Пьером Ферма доказательством своей теоремы. Сказано, что «не обладал».

«Обладать» – то же самое, что «иметь», было ли у Ферма доказательство или нет? Ответ однозначен – было, он же ясно написал, что у него есть «удивительное» (в других переводах «чудесное») доказательство теоремы, которое почти-что могло уместиться на полях «Арифметики». Было ли оно где-то записано (не нашли) или только «в голове» – не в этом вопрос, а в том, какое оно. Именно это «провокационное» заявление вызвало трехсотлетний бесплодный ажиотаж как среди математиков, так и, еще больший, у бесчисленной «армии» ферматистов – как же, если так просто и коротко, то любой может найти, даже школьник нестарших классов.

И, наконец, «нашли». Девяносто девять из ста, что «доказательство» А.И. Ильина (см. [1]) и есть доказательство Ферма: теорема косинусов, небольшой текст вполне могли бы уместиться на «полях». Да в [1] и заявлено, что «раскрыта тайна Ферма». Другой такой «краткости», пусть даже и ошибочной, наверно, не найти. Только Пьер Ферма, очевидно, понял свою ошибку и поэтому нигде и никому не писал о своем доказательстве. А А.И. Ильин поспешил собрать семинар ученых (опасаясь, наверно, как бы кто «не перехватил» такую «простоту»). Но, хотя семинар и «одобрил», вышел все же конфуз. В «плюс» доказательству А.И. Ильина можно поставить то, что им действительно «раскрыта тайна Ферма».

В «заключениях» обычно приводят итоги по выполненной работе и выводы из нее. Об итогах.

Получено частичное доказательство теоремы Ферма не менее, чем на 99% для нечетных n.

Показано, что в пределе n=∞  теорема имеет доказанность точно 100%! Более того, при каждом n (от 3 до  ) теорема также доказана на 100% в пределе – больший член уравнения теоремы (1.1) равен бесконечности.

Опровергнут до сих пор бытующий в арсенале математики метод бесконечного спуска. Все, что им «доказано», является ошибочным.

Доказана ошибочность «исторического» доказательства теоремы Ферма по n=4, без которого нет и полного. Дано два доказательства теоремы для n=4.

На базе доказательства по n=4 «попутно» доказана «Теорема о сумме и разности квадратов»: сумма и разность квадратов двух, одних и тех же, целых чисел не могут быть совместно квадратами целых – может быть только одна из них.

Открыт новый класс уравнений четной m-й степени с особыми свойствами: коэффициенты уравнений связаны с коэффициентами бинома Ньютона, при любом m имеют только два действительных корня, остальные – мнимые. Корни имеют вид сопряженных двучленов с известным первым членом.

Для полного доказательства теоремы Ферма нужно доказать невозможность целочисленности единственных парных действительных корней – их вторых членов. Автору не удалось. Надежда на профессиональных математиков – намного бо льшая эрудиция и возможность применения «больших» ЭВМ.

В качестве вывода можно привести возражение. Публикация [2], экстазно превозносящая доказательство Уайлса, заканчивается фразой, где есть слова «великая теорема Ферма умерла …» (неэтично как-то). Теоремы не умирают, они доказываются – этак и про теорему Пифагора можно сказать, что она «умерла».

Попытки доказательства теоремы Ферма не прекратятся.

Одна из возможностей указана в этой работе.
Библиографический список

  1. «Новая газета» №61(1086) от 22.08-24.08 2005г. Статья Г. Бородянского «Человечество может расслабиться?» – с.с. 13,16.
  2. Д. Абраров. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.
    http://www.polit.ru/science/2006/12/28/abrarov.html
  3. Ю.П. Соловьев. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. http://www.inauka.ru/math/article59316.html
  4. Г. Эдвардс. Последняя теорема Ферма. 1980. http://ega-math.narod.ru/Books/Edwards.htm

Количество просмотров публикации: -

© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором публикации (комментарии/рецензии к публикации)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.